From 5b58ead2152d4c015a55a1c83b7fe31a4323b916 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Hamza-Ayed Date: Sat, 29 Aug 2026 04:46:58 +0300 Subject: [PATCH] feat: Ingest authentic Grade 10 Math Unit 3 (Trigonometry) with full polar system, unit circle, graph analysis, equations, and exam --- backend/scripts/ingest_math_unit3.php | 18 ++ backend/scripts/unit3_math_full.md | 175 ++++++++++++++++++ .../math_10/semester_1/unit_03/lesson_01.md | 23 +++ .../math_10/semester_1/unit_03/lesson_02.md | 41 ++++ .../math_10/semester_1/unit_03/lesson_03.md | 39 ++++ .../math_10/semester_1/unit_03/lesson_04.md | 16 ++ .../math_10/semester_1/unit_03/lesson_05.md | 30 +++ .../math_10/semester_1/unit_03/lesson_06.md | 18 ++ backend/storage/curriculum/manifest.json | 53 ++++++ 9 files changed, 413 insertions(+) create mode 100644 backend/scripts/ingest_math_unit3.php create mode 100644 backend/scripts/unit3_math_full.md create mode 100644 backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_01.md create mode 100644 backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_02.md create mode 100644 backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_03.md create mode 100644 backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_04.md create mode 100644 backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_05.md create mode 100644 backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_06.md diff --git a/backend/scripts/ingest_math_unit3.php b/backend/scripts/ingest_math_unit3.php new file mode 100644 index 0000000..a8e7db5 --- /dev/null +++ b/backend/scripts/ingest_math_unit3.php @@ -0,0 +1,18 @@ + 'الصف العاشر', + 'grade_key' => 'grade_10', + 'subject_name' => 'الرياضيات', + 'subject_key' => 'math_10', + 'semester_name' => 'الفصل الدراسي الأول', + 'semester_key' => 'semester_1' +]; + +$res = parseAndIngestTextbookMarkdown($mathMarkdown, $metadata); +echo "SUCCESS! Ingested Math Unit 3 into storage/curriculum!\n"; diff --git a/backend/scripts/unit3_math_full.md b/backend/scripts/unit3_math_full.md new file mode 100644 index 0000000..fb160ab --- /dev/null +++ b/backend/scripts/unit3_math_full.md @@ -0,0 +1,175 @@ +# الوحدة الثالثة: حساب المثلثات (Trigonometry) +*(الصفحات 64 - 97)* + +## مقدمة ومشروع الوحدة: إنشاء نظام إحداثي جديد + +### ما أهمية هذه الوحدة؟ +تُعَدُّ دراسةُ العلاقاتِ بينَ أطوالِ أضلاعِ المثلثِ وقياساتِ زواياهُ (علم المثلثات) أحدَ أهمِّ فروعِ الرّياضياتِ؛ إذْ ساعَدَ هذا العلمُ قدماءَ المصريينَ على بناءِ الأهراماتِ ودراسةِ الفلكِ، وهو أساس الهندسة الحديثة والملاحة وتوليد الطاقة. + +### تعلَّمْتُ سابقاً: +- مفهوم جيب الزاوية الحادة وجيب تمامها وظلها في المثلث القائم. +- استخدام المتطابقة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. +- حل معادلات خطية وتربيعية. + +### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ: +- دائرة الوحدة والوضع القياسي للزاوية. +- النسب المثلثية ضمن الدورة الواحدة $[0^\circ, 360^\circ]$. +- تمثيل الاقترانات المثلثية بيانياً وخصائصها. +- حل المعادلات المثلثية. + +### مشروع الوحدة: نظام الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates) +- التحويل من قطبي $(r, \theta)$ إلى ديكارتي $(x, y)$: + $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$ +- التحويل من ديكارتي إلى قطبي: + $$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan \theta = \frac{y}{x}$$ + +--- + +## الدرس 1: النِّسَبُ المثلثيّةُ (Trigonometric Ratios) +*(الصفحات 66 - 73)* + +- **فكرة الدرس:** الوضع القياسي للزاوية، دائرة الوحدة، الزوايا الربعية، متطابقة فيثاغورس. +- **المصطلحات:** ضلع الابتداء، ضلع الانتهاء، الوضع القياسي، دائرة الوحدة، الزاوية الربعية. + +### مسألة اليوم (صفحة 66): +> إيجاد النسب المثلثية لزاوية دوران شفرات المروحة البالغة $120^\circ$. + +### المفاهيم الأساسية: +1. **الوضع القياسي:** الرأس عند $(0, 0)$ وضلع الابتداء على محور $x$ الموجب. +2. **دائرة الوحدة ($r = 1$):** $x^2 + y^2 = 1$. + - $\cos \theta = x$ + - $\sin \theta = y$ + - $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ +3. **متطابقة فيثاغورس:** $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. + +#### إشارات النسب المثلثية في الأرباع: +- **الرُّبع الأول:** الكل موجب ($\sin > 0, \cos > 0, \tan > 0$). +- **الرُّبع الثاني:** $\sin > 0$ فقط. +- **الرُّبع الثالث:** $\tan > 0$ فقط. +- **الرُّبع الرابع:** $\cos > 0$ فقط. + +#### مثال 3 (دائرة الوحدة): +1) $P(-0.6, 0.8) \implies \sin \theta = 0.8, \cos \theta = -0.6, \tan \theta = -\frac{4}{3}$. +2) $P\left(\frac{5}{13}, -\frac{12}{13}\right) \implies \sin \theta = -\frac{12}{13}, \cos \theta = \frac{5}{13}, \tan \theta = -\frac{12}{5}$. + +#### مثال 5 (متطابقة فيثاغورس): +1) $\sin \theta = -\frac{1}{5}$ في الرُّبع الثالث $\implies \cos \theta = -\frac{\sqrt{24}}{5}, \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{24}}$. +2) $\tan \theta = -3.5$ في الرُّبع الثاني $\implies \cos \theta \approx -0.2747, \sin \theta \approx 0.9615$. + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1): +1-4) رسم الزوايا في الوضع القياسي. +5-8) تحديد الأرباع ($285^\circ$ رابع، $75^\circ$ أول، $100^\circ$ ثانٍ، $265^\circ$ ثالث). +9-20) تحديد أرباع النسب المثلثية وإشاراتها. +21-24) إيجاد النسب المثلثية من نقاط تقاطع دائرة الوحدة. +25-28) حساب النسب المثلثية المجهولة باستخدام متطابقة فيثاغورس. +29) **تبرير:** أكبر قيمة للجيب $+1$ وأصغر قيمة $-1$ لأن المدى هو $[-1, 1]$. +30) **أكتشف الخطأ:** إجابة زينة هي الصحيحة ($\sin x + \cos x = -1.4$). + +--- + +## الدرس 2: النِّسَبُ المثلثيّةُ للزوايا ضمنَ الدورةِ الواحدةِ +*(الصفحات 74 - 81)* + +- **فكرة الدرس:** حساب النسب المثلثية للزوايا بين $0^\circ$ و $360^\circ$ باستخدام زوايا المرجع. +- **قواعد الزاوية المرجعية ($\theta'$):** + - الرُّبع الأول: $\theta' = \theta$ + - الرُّبع الثاني: $\theta' = 180^\circ - \theta$ + - الرُّبع الثالث: $\theta' = \theta - 180^\circ$ + - الرُّبع الرابع: $\theta' = 360^\circ - \theta$ + +### جدول الزوايا الخاصة: +| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\sin \theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | +| $\cos \theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | +| $\tan \theta$ | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | غير معرف | + +#### مثال 1: +1) $\sin 150^\circ = +\sin 30^\circ = 0.5$ +2) $\cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ +3) $\tan 300^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$ + +#### مثال 3 (إيجاد الزاوية بمعلومية النسبة): +1) $\sin \theta = 0.98 \implies \theta \in \{78.5^\circ, 101.5^\circ\}$. +2) $\tan \theta = -1.2 \implies \theta \in \{129.8^\circ, 309.8^\circ\}$. + +#### مثال 4 (ناعورة الماء): +$$h = 7.5 - 7.5\cos 180^\circ = 7.5 - 7.5(-1) = 15\text{ m}$$ + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2): +1-6) حساب النسب المثلثية للزوايا وقيمها بالآلة الحاسبة. +7-15) إيجاد الزوايا المكافئة في الأرباع المختلفة. +16-18) إيجاد قيم $\theta$ من معادلات النسب المثلثية. +19) ارتفاع الراكب في دواليب الألعاب $= 0.43\text{ m}$. +21) **تحدّ:** $\cos \theta + \sin \theta < 0 \implies \theta \in (135^\circ, 180^\circ)$. +22) **أكتشف الخطأ:** إجابة سندس مستحيلة لأن الجيب لا يمكن أن يتجاوز $1$. +23) **تبرير:** $\sum_{k=1}^{360} \cos(k^\circ) = 0$. + +--- + +## الدرس 3: تمثيلُ الاقتراناتِ المثلثيّةِ (Graphing Trigonometric Functions) +*(الصفحات 82 - 87)* + +- **فكرة الدرس:** تمثيل اقترانات الجيب وجيب التمام والظل بيانياً في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$. +- **خصائص الاقترانات المثلثية:** + - **منحنى الجيب $y = \sin x$:** السعة $= 1$، الدورة $= 360^\circ$، القمة عند $(90^\circ, 1)$ والقاع عند $(270^\circ, -1)$. + - **منحنى جيب التمام $y = \cos x$:** السعة $= 1$، الدورة $= 360^\circ$، المقطع $y$ عند $(0, 1)$، القيعان والقمم عند $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$. + - **منحنى الظل $y = \tan x$:** غير متصل، الدورة $= 180^\circ$، خطوط تقارب رأسية عند $x = 90^\circ, 270^\circ$. + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3): +5-6) تقدير قيم الزوايا من المنحنيات البيانية. +7-13) قراءة نقاط التقاطع والإحداثيات من التمثيل البياني. +14) **تحدّ:** مقارنة بين $\cos x$ و $2\cos x$ (السعة تتضاعف إلى $2$ بينما الدورة ثابتة $360^\circ$). +15) **كتابة:** علاقة الإزاحة $\sin x = \cos(x - 90^\circ)$. + +--- + +## الدرس 4: حلُّ المعادلاتِ المثلثيّةِ (Solving Trigonometric Equations) +*(الصفحات 88 - 95)* + +- **فكرة الدرس:** حل معادلات جيب وجيب تمام وظل في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$ بالتحليل والمعكوس. + +#### مثال 1: +1) $2\sin x = 1 \implies \sin x = 0.5 \implies x \in \{30^\circ, 150^\circ\}$. +2) $3\cos x - 1 = 2 \implies \cos x = 1 \implies x \in \{0^\circ, 360^\circ\}$. + +#### مثال 2 (معادلات بالزوايا المضاعفة): +1) $2(\tan x - 3) + 4 = 12 \implies \tan x = 7 \implies x \in \{81.9^\circ, 261.9^\circ\}$. +2) $1 + 4\sin(3x) = 2.5 \implies \sin(3x) = 0.375 \implies x \in \{7.3^\circ, 52.7^\circ\}$. + +#### مثال 3 (التحليل إلى العوامل): +1) $\sin x(3\cos x - 2) = 0 \implies x \in \{0^\circ, 48.2^\circ, 180^\circ, 311.8^\circ\}$. +2) $3\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0 \implies (3\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0 \implies x \in \{90^\circ, 199.5^\circ, 340.5^\circ\}$. + +#### مثال 4 (حركة المقذوفات): +$$9 = \frac{144}{10}\sin(2\theta) \implies \sin(2\theta) = 0.625 \implies \theta \in \{19.4^\circ, 70.7^\circ\}$$ + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 4): +1-6) حل المعادلات المثلثية الأساسية. +7-9) حل معادلات الزوايا المركبة والمضاعفة في $[0^\circ, 90^\circ]$. +10-19) حل معادلات تربيعية ومثلثية بالتحليل ومتطابقات الجيب وجيب التمام. +20) مسألة عقرب الساعة: الوقت $x \approx 3.26$ ساعة (الساعة $3:15$ تقريباً). +24) **أكتشف الخطأ:** حل علياء صحيح لأن القسمة على $\sin x$ تحذف حلولاً صفرية حقيقية. +25) **تحدّ:** $2\sin x \cos x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0 \implies (2\cos x + 1)(\sin x + 1) = 0 \implies x \in \{120^\circ, 240^\circ, 270^\circ\}$. +26) **تحدّ:** المعادلة $\cos x - \sin x - 1 = 0$ لها حلان حقيقيان هما $\{0^\circ, 270^\circ\}$. + +--- + +## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الثالثة (صفحة 96 - 97) + +### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل: +1) $\cos \theta = -0.5 \implies$ **b) الرُّبعين: الثاني، والثالث** +2) $P(-40/41, 9/41) \implies \sin \theta = y \implies$ **d) $\frac{9}{41}$** +3) $\theta' = 230^\circ - 180^\circ = 50^\circ \implies$ **c) $50^\circ$** +4) $\sin x = \frac{8}{17} \implies \tan x = -\frac{8}{15} \implies$ **a) $-\frac{8}{15}$** +5) $x = \sin^{-1}(-1) = 270^\circ \implies$ **c) $270^\circ$** +6-11) إيجاد النسب المثلثية من نقاط دائرة الوحدة. +12-13) إحداثيات $A(90^\circ, 0), B(60^\circ, 0.5), C(300^\circ, 0.5)$. +14-17) النسب المثلثية المتبقية. +18-23) حساب قيم العبارات المثلثية. +24-28) حل المعادلات المثلثية. +29) $\sin x + \sin(180^\circ - x) = 1.4444 \implies 2\sin x = 1.4444 \implies x \approx 46.2^\circ$. +30) لعبة المدفع: $d = 2 + 7\sin(30^\circ) = 5.5\text{ m}$. +31) أصفار الاقتران $4\sin^2 x - 3 = 0 \implies x \in \{60^\circ, 120^\circ, 240^\circ, 300^\circ\}$. +32) زاوية شعاع الليزر: $\theta = \tan^{-1}(10/35) \approx 15.9^\circ$. +33) طول حبل الشراع: $\frac{150}{\sin 58^\circ} \approx 177\text{ m} \implies$ **a) 177 m**. diff --git a/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_01.md b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_01.md new file mode 100644 index 0000000..210aba1 --- /dev/null +++ b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_01.md @@ -0,0 +1,23 @@ +## مقدمة ومشروع الوحدة: إنشاء نظام إحداثي جديد + +### ما أهمية هذه الوحدة؟ +تُعَدُّ دراسةُ العلاقاتِ بينَ أطوالِ أضلاعِ المثلثِ وقياساتِ زواياهُ (علم المثلثات) أحدَ أهمِّ فروعِ الرّياضياتِ؛ إذْ ساعَدَ هذا العلمُ قدماءَ المصريينَ على بناءِ الأهراماتِ ودراسةِ الفلكِ، وهو أساس الهندسة الحديثة والملاحة وتوليد الطاقة. + +### تعلَّمْتُ سابقاً: +- مفهوم جيب الزاوية الحادة وجيب تمامها وظلها في المثلث القائم. +- استخدام المتطابقة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. +- حل معادلات خطية وتربيعية. + +### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ: +- دائرة الوحدة والوضع القياسي للزاوية. +- النسب المثلثية ضمن الدورة الواحدة $[0^\circ, 360^\circ]$. +- تمثيل الاقترانات المثلثية بيانياً وخصائصها. +- حل المعادلات المثلثية. + +### مشروع الوحدة: نظام الإحداثيات القطبية (Polar Coordinates) +- التحويل من قطبي $(r, \theta)$ إلى ديكارتي $(x, y)$: + $$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta$$ +- التحويل من ديكارتي إلى قطبي: + $$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan \theta = \frac{y}{x}$$ + +--- \ No newline at end of file diff --git a/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_02.md b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_02.md new file mode 100644 index 0000000..64a8104 --- /dev/null +++ b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_02.md @@ -0,0 +1,41 @@ +## الدرس 1: النِّسَبُ المثلثيّةُ (Trigonometric Ratios) +*(الصفحات 66 - 73)* + +- **فكرة الدرس:** الوضع القياسي للزاوية، دائرة الوحدة، الزوايا الربعية، متطابقة فيثاغورس. +- **المصطلحات:** ضلع الابتداء، ضلع الانتهاء، الوضع القياسي، دائرة الوحدة، الزاوية الربعية. + +### مسألة اليوم (صفحة 66): +> إيجاد النسب المثلثية لزاوية دوران شفرات المروحة البالغة $120^\circ$. + +### المفاهيم الأساسية: +1. **الوضع القياسي:** الرأس عند $(0, 0)$ وضلع الابتداء على محور $x$ الموجب. +2. **دائرة الوحدة ($r = 1$):** $x^2 + y^2 = 1$. + - $\cos \theta = x$ + - $\sin \theta = y$ + - $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ +3. **متطابقة فيثاغورس:** $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. + +#### إشارات النسب المثلثية في الأرباع: +- **الرُّبع الأول:** الكل موجب ($\sin > 0, \cos > 0, \tan > 0$). +- **الرُّبع الثاني:** $\sin > 0$ فقط. +- **الرُّبع الثالث:** $\tan > 0$ فقط. +- **الرُّبع الرابع:** $\cos > 0$ فقط. + +#### مثال 3 (دائرة الوحدة): +1) $P(-0.6, 0.8) \implies \sin \theta = 0.8, \cos \theta = -0.6, \tan \theta = -\frac{4}{3}$. +2) $P\left(\frac{5}{13}, -\frac{12}{13}\right) \implies \sin \theta = -\frac{12}{13}, \cos \theta = \frac{5}{13}, \tan \theta = -\frac{12}{5}$. + +#### مثال 5 (متطابقة فيثاغورس): +1) $\sin \theta = -\frac{1}{5}$ في الرُّبع الثالث $\implies \cos \theta = -\frac{\sqrt{24}}{5}, \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{24}}$. +2) $\tan \theta = -3.5$ في الرُّبع الثاني $\implies \cos \theta \approx -0.2747, \sin \theta \approx 0.9615$. + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1): +1-4) رسم الزوايا في الوضع القياسي. +5-8) تحديد الأرباع ($285^\circ$ رابع، $75^\circ$ أول، $100^\circ$ ثانٍ، $265^\circ$ ثالث). +9-20) تحديد أرباع النسب المثلثية وإشاراتها. +21-24) إيجاد النسب المثلثية من نقاط تقاطع دائرة الوحدة. +25-28) حساب النسب المثلثية المجهولة باستخدام متطابقة فيثاغورس. +29) **تبرير:** أكبر قيمة للجيب $+1$ وأصغر قيمة $-1$ لأن المدى هو $[-1, 1]$. +30) **أكتشف الخطأ:** إجابة زينة هي الصحيحة ($\sin x + \cos x = -1.4$). + +--- \ No newline at end of file diff --git a/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_03.md b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_03.md new file mode 100644 index 0000000..8a0af4a --- /dev/null +++ b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_03.md @@ -0,0 +1,39 @@ +## الدرس 2: النِّسَبُ المثلثيّةُ للزوايا ضمنَ الدورةِ الواحدةِ +*(الصفحات 74 - 81)* + +- **فكرة الدرس:** حساب النسب المثلثية للزوايا بين $0^\circ$ و $360^\circ$ باستخدام زوايا المرجع. +- **قواعد الزاوية المرجعية ($\theta'$):** + - الرُّبع الأول: $\theta' = \theta$ + - الرُّبع الثاني: $\theta' = 180^\circ - \theta$ + - الرُّبع الثالث: $\theta' = \theta - 180^\circ$ + - الرُّبع الرابع: $\theta' = 360^\circ - \theta$ + +### جدول الزوايا الخاصة: +| $\theta$ | $0^\circ$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ | $90^\circ$ | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| $\sin \theta$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | +| $\cos \theta$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{2}}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | +| $\tan \theta$ | $0$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | غير معرف | + +#### مثال 1: +1) $\sin 150^\circ = +\sin 30^\circ = 0.5$ +2) $\cos 225^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ +3) $\tan 300^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3}$ + +#### مثال 3 (إيجاد الزاوية بمعلومية النسبة): +1) $\sin \theta = 0.98 \implies \theta \in \{78.5^\circ, 101.5^\circ\}$. +2) $\tan \theta = -1.2 \implies \theta \in \{129.8^\circ, 309.8^\circ\}$. + +#### مثال 4 (ناعورة الماء): +$$h = 7.5 - 7.5\cos 180^\circ = 7.5 - 7.5(-1) = 15\text{ m}$$ + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2): +1-6) حساب النسب المثلثية للزوايا وقيمها بالآلة الحاسبة. +7-15) إيجاد الزوايا المكافئة في الأرباع المختلفة. +16-18) إيجاد قيم $\theta$ من معادلات النسب المثلثية. +19) ارتفاع الراكب في دواليب الألعاب $= 0.43\text{ m}$. +21) **تحدّ:** $\cos \theta + \sin \theta < 0 \implies \theta \in (135^\circ, 180^\circ)$. +22) **أكتشف الخطأ:** إجابة سندس مستحيلة لأن الجيب لا يمكن أن يتجاوز $1$. +23) **تبرير:** $\sum_{k=1}^{360} \cos(k^\circ) = 0$. + +--- \ No newline at end of file diff --git a/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_04.md b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_04.md new file mode 100644 index 0000000..61d2d23 --- /dev/null +++ b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_04.md @@ -0,0 +1,16 @@ +## الدرس 3: تمثيلُ الاقتراناتِ المثلثيّةِ (Graphing Trigonometric Functions) +*(الصفحات 82 - 87)* + +- **فكرة الدرس:** تمثيل اقترانات الجيب وجيب التمام والظل بيانياً في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$. +- **خصائص الاقترانات المثلثية:** + - **منحنى الجيب $y = \sin x$:** السعة $= 1$، الدورة $= 360^\circ$، القمة عند $(90^\circ, 1)$ والقاع عند $(270^\circ, -1)$. + - **منحنى جيب التمام $y = \cos x$:** السعة $= 1$، الدورة $= 360^\circ$، المقطع $y$ عند $(0, 1)$، القيعان والقمم عند $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$. + - **منحنى الظل $y = \tan x$:** غير متصل، الدورة $= 180^\circ$، خطوط تقارب رأسية عند $x = 90^\circ, 270^\circ$. + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3): +5-6) تقدير قيم الزوايا من المنحنيات البيانية. +7-13) قراءة نقاط التقاطع والإحداثيات من التمثيل البياني. +14) **تحدّ:** مقارنة بين $\cos x$ و $2\cos x$ (السعة تتضاعف إلى $2$ بينما الدورة ثابتة $360^\circ$). +15) **كتابة:** علاقة الإزاحة $\sin x = \cos(x - 90^\circ)$. + +--- \ No newline at end of file diff --git a/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_05.md b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_05.md new file mode 100644 index 0000000..7850b87 --- /dev/null +++ b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_05.md @@ -0,0 +1,30 @@ +## الدرس 4: حلُّ المعادلاتِ المثلثيّةِ (Solving Trigonometric Equations) +*(الصفحات 88 - 95)* + +- **فكرة الدرس:** حل معادلات جيب وجيب تمام وظل في الفترة $[0^\circ, 360^\circ]$ بالتحليل والمعكوس. + +#### مثال 1: +1) $2\sin x = 1 \implies \sin x = 0.5 \implies x \in \{30^\circ, 150^\circ\}$. +2) $3\cos x - 1 = 2 \implies \cos x = 1 \implies x \in \{0^\circ, 360^\circ\}$. + +#### مثال 2 (معادلات بالزوايا المضاعفة): +1) $2(\tan x - 3) + 4 = 12 \implies \tan x = 7 \implies x \in \{81.9^\circ, 261.9^\circ\}$. +2) $1 + 4\sin(3x) = 2.5 \implies \sin(3x) = 0.375 \implies x \in \{7.3^\circ, 52.7^\circ\}$. + +#### مثال 3 (التحليل إلى العوامل): +1) $\sin x(3\cos x - 2) = 0 \implies x \in \{0^\circ, 48.2^\circ, 180^\circ, 311.8^\circ\}$. +2) $3\sin^2 x - 2\sin x - 1 = 0 \implies (3\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0 \implies x \in \{90^\circ, 199.5^\circ, 340.5^\circ\}$. + +#### مثال 4 (حركة المقذوفات): +$$9 = \frac{144}{10}\sin(2\theta) \implies \sin(2\theta) = 0.625 \implies \theta \in \{19.4^\circ, 70.7^\circ\}$$ + +### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 4): +1-6) حل المعادلات المثلثية الأساسية. +7-9) حل معادلات الزوايا المركبة والمضاعفة في $[0^\circ, 90^\circ]$. +10-19) حل معادلات تربيعية ومثلثية بالتحليل ومتطابقات الجيب وجيب التمام. +20) مسألة عقرب الساعة: الوقت $x \approx 3.26$ ساعة (الساعة $3:15$ تقريباً). +24) **أكتشف الخطأ:** حل علياء صحيح لأن القسمة على $\sin x$ تحذف حلولاً صفرية حقيقية. +25) **تحدّ:** $2\sin x \cos x + \sin x + 2\cos x + 1 = 0 \implies (2\cos x + 1)(\sin x + 1) = 0 \implies x \in \{120^\circ, 240^\circ, 270^\circ\}$. +26) **تحدّ:** المعادلة $\cos x - \sin x - 1 = 0$ لها حلان حقيقيان هما $\{0^\circ, 270^\circ\}$. + +--- \ No newline at end of file diff --git a/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_06.md b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_06.md new file mode 100644 index 0000000..0311adf --- /dev/null +++ b/backend/storage/curriculum/grade_10/math_10/semester_1/unit_03/lesson_06.md @@ -0,0 +1,18 @@ +## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الثالثة (صفحة 96 - 97) + +### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل: +1) $\cos \theta = -0.5 \implies$ **b) الرُّبعين: الثاني، والثالث** +2) $P(-40/41, 9/41) \implies \sin \theta = y \implies$ **d) $\frac{9}{41}$** +3) $\theta' = 230^\circ - 180^\circ = 50^\circ \implies$ **c) $50^\circ$** +4) $\sin x = \frac{8}{17} \implies \tan x = -\frac{8}{15} \implies$ **a) $-\frac{8}{15}$** +5) $x = \sin^{-1}(-1) = 270^\circ \implies$ **c) $270^\circ$** +6-11) إيجاد النسب المثلثية من نقاط دائرة الوحدة. +12-13) إحداثيات $A(90^\circ, 0), B(60^\circ, 0.5), C(300^\circ, 0.5)$. +14-17) النسب المثلثية المتبقية. +18-23) حساب قيم العبارات المثلثية. +24-28) حل المعادلات المثلثية. +29) $\sin x + \sin(180^\circ - x) = 1.4444 \implies 2\sin x = 1.4444 \implies x \approx 46.2^\circ$. +30) لعبة المدفع: $d = 2 + 7\sin(30^\circ) = 5.5\text{ m}$. +31) أصفار الاقتران $4\sin^2 x - 3 = 0 \implies x \in \{60^\circ, 120^\circ, 240^\circ, 300^\circ\}$. +32) زاوية شعاع الليزر: $\theta = \tan^{-1}(10/35) \approx 15.9^\circ$. +33) طول حبل الشراع: $\frac{150}{\sin 58^\circ} \approx 177\text{ m} \implies$ **a) 177 m**. \ No newline at end of file diff --git a/backend/storage/curriculum/manifest.json b/backend/storage/curriculum/manifest.json index 0d0eec3..77c3ee6 100644 --- a/backend/storage/curriculum/manifest.json +++ b/backend/storage/curriculum/manifest.json @@ -361,6 +361,59 @@ "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_02\/lesson_06.md" } ] + }, + "unit_03": { + "name": "الوحدة الثالثة: حساب المثلثات (Trigonometry)", + "lessons": [ + { + "id": "lesson_01", + "title": "مقدمة ومشروع الوحدة: إنشاء نظام إحداثي جديد", + "outcomes": [ + "مقدمة ومشروع الوحدة: إنشاء نظام إحداثي جديد" + ], + "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_03\/lesson_01.md" + }, + { + "id": "lesson_02", + "title": "الدرس 1: النِّسَبُ المثلثيّةُ (Trigonometric Ratios)", + "outcomes": [ + "الدرس 1: النِّسَبُ المثلثيّةُ (Trigonometric Ratios)" + ], + "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_03\/lesson_02.md" + }, + { + "id": "lesson_03", + "title": "الدرس 2: النِّسَبُ المثلثيّةُ للزوايا ضمنَ الدورةِ الواحدةِ", + "outcomes": [ + "الدرس 2: النِّسَبُ المثلثيّةُ للزوايا ضمنَ الدورةِ الواحدةِ" + ], + "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_03\/lesson_03.md" + }, + { + "id": "lesson_04", + "title": "الدرس 3: تمثيلُ الاقتراناتِ المثلثيّةِ (Graphing Trigonometric Functions)", + "outcomes": [ + "الدرس 3: تمثيلُ الاقتراناتِ المثلثيّةِ (Graphing Trigonometric Functions)" + ], + "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_03\/lesson_04.md" + }, + { + "id": "lesson_05", + "title": "الدرس 4: حلُّ المعادلاتِ المثلثيّةِ (Solving Trigonometric Equations)", + "outcomes": [ + "الدرس 4: حلُّ المعادلاتِ المثلثيّةِ (Solving Trigonometric Equations)" + ], + "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_03\/lesson_05.md" + }, + { + "id": "lesson_06", + "title": "اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الثالثة (صفحة 96 - 97)", + "outcomes": [ + "اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الثالثة (صفحة 96 - 97)" + ], + "file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_03\/lesson_06.md" + } + ] } }, "resources": {