# الوحدة الرابعة: تطبيقات المثلثات (Triangle Applications) *(الصفحات 98 - 132)* ## مقدمة ومشروع الوحدة: صُنْعُ كلينومتر واستعمالُهُ ### ما أهمية هذه الوحدة؟ للنِّسَبِ المثلثيّةِ استعمالاتٌ كثيرةٌ في العلومِ، والهندسةِ، والإلكترونياتِ، مثلِ: حسابِ ارتفاعاتِ قِمَمِ الجبالِ والمباني، وتحديدِ اتجاهاتِ تحليقِ الطائراتِ على الخريطةِ، وحسابِ مساحاتِ الأراضي غيرِ المنتظمةِ. ### تعلَّمْتُ سابقاً: - إيجاد النسب المثلثية في الأرباع الأربعة. - استخدام متطابقة فيثاغورس $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. - حل المثلث القائم الزاوية. ### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ: - تفسير الاتجاه من الشمال وحسابه. - قانون الجيوب (Law of Sines). - قانون جيوب التمام (Law of Cosines). - استعمال جيب الزاوية لحساب مساحة المثلث. - حل مسائل ثلاثية الأبعاد. ### مشروع الوحدة: صُنْع كلينومتر (Clinometer) (صفحة 99) - قياس زاوية الارتفاع $(90^\circ - x)$. - حساب الارتفاع: $$h = l \tan(90^\circ - x) \implies H_{\text{total}} = h + d$$ --- ## الدرس 1: الاتجاهُ منَ الشمالِ (Bearing) *(الصفحات 100 - 105)* - **فكرة الدرس:** كتابة الاتجاه من الشمال بزاوية من 3 أرقام تُقاس مع عقارب الساعة من خط الشمال الجغرافي. - **الاتجاهات الرئيسة:** - الشمال: $000^\circ$ (أو $360^\circ$) - الشرق: $090^\circ$ - الجنوب: $180^\circ$ - الغرب: $270^\circ$ ### مسألة اليوم (صفحة 100): > طائرة عمان-العقبة باتجاه $200^\circ \implies$ اتجاه العودة: $200^\circ - 180^\circ = 020^\circ$. #### مثال 1: - اتجاه المدينة $B$ من $A$: $070^\circ$. - اتجاه المدينة $C$ من $A$: $360^\circ - 115^\circ = 245^\circ$. #### مثال 2 (تحالف خطوط الشمال المتوازية): إذا كان اتجاه $S$ من $R$ هو $240^\circ \implies$ اتجاه $R$ من $S$ هو: $$\text{الاتجاه} = 180^\circ - (360^\circ - 240^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 060^\circ$$ #### مثال 3 (خرائط الأردن وفلسطين): - اتجاه عمان من القدس الشريف: $078^\circ$. - اتجاه حيفا من القدس الشريف: $338^\circ$. ### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1): 1-3) قياس الاتجاهات بالمنقلة ($225^\circ, 270^\circ, 090^\circ$). 6) اتجاه $B$ من $A$: $070^\circ + 180^\circ = 250^\circ$. 7) اتجاه $Y$ من $X$: $324^\circ - 180^\circ = 144^\circ$. 9-10) ملاحة بحرية: الاتجاهات $090^\circ, 180^\circ, 270^\circ$. 17) زاوية استدارة الطائرة: $180^\circ - 072^\circ = 108^\circ$. 19) اتجاه عودة الطائرة: $020^\circ$. ### مهارات التفكير العليا: 21) المسافة $SP$: $$(SP)^2 = 57^2 + 38^2 - 2(57)(38)\cos 135^\circ = 7756.18 \implies SP \approx 88.07\text{ km}$$ 22) اتجاه السفينة من الميناء: $\sin \angle P = \frac{38 \sin 135^\circ}{88.07} \approx 0.3051 \implies \text{الاتجاه} \approx 018^\circ$. --- ## الدرس 2: قانونُ الجيوبِ (Law of Sines) *(الصفحات 106 - 112)* - **فكرة الدرس:** حل المثلث في حالتي (AAS / ASA) و (SSA). - **صيغة القانون:** $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ ### مسألة اليوم (صفحة 106 - جرش والزرقاء ومأدبا): $$m\angle M = 180^\circ - (52^\circ + 93^\circ) = 35^\circ \implies z = \frac{44 \sin 93^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 76.6\text{ km}$$ #### مثال 1 (إيجاد طول ضلع): $$\frac{x}{\sin 84^\circ} = \frac{25}{\sin 47^\circ} \implies x = \frac{25 \sin 84^\circ}{\sin 47^\circ} \approx 34\text{ cm}$$ #### مثال 2 (إيجاد قياس زاوية): $$\frac{\sin x}{7} = \frac{\sin 40^\circ}{6} \implies \sin x \approx 0.7499 \implies x \approx 48.6^\circ$$ #### مثال 3 (ارتفاع برج فوق تلة): $$\frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{25}{\sin 40^\circ} \implies h = \frac{25 \sin 30^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 19.45\text{ m}$$ #### مثال 4 (سفينة استغاثة وخفر السواحل): $$\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{120}{\sin 70^\circ} \implies b \approx 110.59\text{ km}, \quad a \approx 97.82\text{ km}$$ ### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2): 1-6) إيجاد الأطوال والزوايا المجهولة في المثلثات. 7) الزاوية المنفرجة: $m\angle CBA = 180^\circ - 45.6^\circ = 134.4^\circ$. 9) ارتفاع الجبل البحري: $h \approx 2411\text{ m}$. 13) **تبرير:** رصاصة القناص تصيب الهدف أولاً لأن مسافتها أقصر ($59.4\text{ m} < 66.5\text{ m}$). 14) **تحدّ:** ارتفاع الجسر عن القارب $h \approx 299.2\text{ m}$. --- ## الدرس 3: قانونُ جيوبِ التمامِ (Law of Cosines) *(الصفحات 113 - 118)* - **فكرة الدرس:** حل المثلث في حالتي (SAS) و (SSS). - **القوانين:** - $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ - $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ ### مسألة اليوم (صفحة 113): > المسافة بين الحافلتين بعد 3 ساعات ($180\text{ km}$ و $150\text{ km}$ بزاوية $30^\circ$): > $$d = \sqrt{180^2 + 150^2 - 2(180)(150)\cos 30^\circ} = \sqrt{54900 - 46765.37} \approx 90.2\text{ km}$$ #### مثال 1 (إيجاد طول ضلع): $$x^2 = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10)\cos 80^\circ = 115.16 \implies x \approx 10.7\text{ cm}$$ #### مثال 2 (إيجاد قياس زاوية): $$\cos x = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2(5)(7)} = \frac{10}{70} \approx 0.1428 \implies x \approx 81.8^\circ$$ #### مثال 3 (طائرة مروحية بين قريتين): $$XY = \sqrt{12^2 + 8.5^2 - 2(12)(8.5)\cos 62.7^\circ} \approx 11.1\text{ km}$$ #### مثال 4 (ملاحة جوية): $$AB = \sqrt{400^2 + 500^2 - 2(400)(500)\cos 110^\circ} \approx 739.5\text{ km}$$ ### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3): 1-6) حساب الأضلاع والزوايا المجهولة. 7) ملاحة بحرية: المسافة المباشرة $d \approx 58.4\text{ km}$. 8) كرة قدم: زاوية التسديد على المرمى $\theta \approx 9.4^\circ$. 10) عقارب الساعة عند $4:00$: المسافة $d = \sqrt{37} \approx 6.08\text{ cm}$. 12) **تحدّ:** أصغر زاوية في مثلث أضلاعه $3a, 5a, 7a$ هي $\cos \theta = \frac{13}{14} \implies \theta \approx 21.8^\circ$. --- ## الدرس 4: استعمالُ جيبِ الزاويةِ لإيجادِ مساحةِ المثلثِ *(الصفحات 119 - 123)* - **فكرة الدرس:** حساب مساحة المثلث باستعمال طولي ضلعين وجيب الزاوية المحصورة. - **قانون المساحة:** $$\text{Area} = K = \frac{1}{2} a b \sin C$$ ### مسألة اليوم (صفحة 119): > مساحة أرض البطاطا: > $$K = \frac{1}{2}(84)(110)\sin 145^\circ \approx 2650\text{ m}^2 \implies \text{كمية الدرنات} = 2650 \times 0.15 = 397.5\text{ kg}$$ #### مثال 1: $$K = \frac{1}{2}(8)(6)\sin 30^\circ = 12\text{ units}^2$$ #### مثال 2 (معرفة الأضلاع الثلاثة SSS): $$\cos C = \frac{13^2 + 19^2 - 8^2}{2(13)(19)} \approx 0.9433 \implies C \approx 19.4^\circ \implies K = \frac{1}{2}(13)(19)\sin 19.4^\circ \approx 41.0\text{ cm}^2$$ #### مثال 3 (مثلث عمان والمفرق والأزرق): $$\cos B = \frac{98^2 + 70^2 - 103^2}{2(98)(70)} \approx 0.2839 \implies B \approx 73.5^\circ \implies K \approx 3288.8\text{ km}^2$$ ### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 4): 1-5) حساب مساحات المثلثات. 6) إيجاد الضلع المجهول: $AC \approx 4.26\text{ cm}$. 18) **تحدّ:** مساحة المثلث بمعلومية زاويتين وضلع $K \approx 8.5\text{ cm}^2$. 19) **أكتشف الخطأ:** نور استعملت زاوية غير محصورة، والتصحيح $K = \frac{1}{2}(8)(9)\sin 115.8^\circ \approx 32.4\text{ cm}^2$. --- ## الدرس 5: حلُّ مسائلَ ثلاثيّةِ الأبعادِ (Solving Problems in Three Dimensions) *(الصفحات 124 - 129)* - **فكرة الدرس:** حساب الأطوال والزوايا في المجسمات (متوازي المستطيلات، الأهرامات، وتطبيقات الرصد). ### مسألة اليوم (صفحة 124 - ارتفاع الهرم الأكبر): - نصف قطر قاعدة المربع: $d = \frac{232.6\sqrt{2}}{2} \approx 164.47\text{ m}$. - ارتفاع الهرم: $H = \sqrt{221.2^2 - 164.47^2} \approx 147.9\text{ m}$. #### مثال 1 (متوازي مستطيلات $12 \times 5 \times 7$): - قطر القاعدة: $FH = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm}$. - زاوية القطر الرئيسي مع القاعدة: $\tan(\angle AHF) = \frac{7}{13} \implies m\angle AHF \approx 28.3^\circ$. #### مثال 2 (رصد طائرة من موقعين): $$\tan \theta = \frac{8.917}{65.27} \implies \theta \approx 7.8^\circ$$ #### مثال 3 (رصد منزلين في اتجاهين متعامدين): $$AB = \sqrt{106.2^2 + 171.6^2} \approx 201.8\text{ m}$$ ### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 5): 1) سارية علم في ساحة مستطيلة: زاوية الارتفاع $\theta \approx 25.1^\circ$. 16) **أكتشف الخطأ:** رأي جمال غير صحيح لأن العلاقة ليست خطية، والزاوية الحقيقية $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.083}{28}\right) \approx 16.1^\circ$. --- ## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الرابعة (الصفحات 130 - 132) ### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل: 1) إذا عُلِمت جميع الزوايا: **d) لا يُمكِنُ حلُّ المثلثِ في هذهِ الحالةِ** 2) إذا عُلِمت جميع الأضلاع: **b) قانونِ جيوبِ التمامِ فقطْ** 3) زاوية الاتجاه $GHJ$: **c) $29^\circ$** 4) صيغة مساحة المثلث: **b) $\frac{1}{2} ab \sin C$** 5) اتجاه $Z$ من $R$: **c) $250^\circ$** 6-8) إيجاد قيم $x$ في المثلثات ($10.5, 62.2^\circ, 27.2$). 9) مسافة منزلي نسرين وهبة: $d \approx 321.9\text{ m}$. 11) زاوية المثلث: $m\angle PQR \approx 30.2^\circ$. 12-15) الشكل الرباعي: $DB = 6.67, m\angle DBC = 58.5^\circ, CD = 9.35, \text{المساحة} \approx 40.67\text{ units}^2$. 16) اتجاه الميناء $S$ من $P$: $240.6^\circ$. 17) سرعة الشاحنة: $8.7\text{ km/h}$. 19-20) برج بيزا المائل: $m\angle RPQ = 84.4^\circ$، وارتفاع قمة البرج $H \approx 54.7\text{ m}$. 24) اختبارات دولية: **b) موقعُ السفينةِ $B$ بالنسبةِ إلى الطائرةِ أبعدُ منْهُ منَ السفينةِ $A$** 25) المسافة بين السفينتين: $700 + 834.2 = 1534.2\text{ m} \implies$ **d) 1534** 26) التبرير: زاوية انخفاض $B$ أصغر ($40^\circ < 45^\circ$) فتكون هي الأبعد أفقياً.