saqel/backend/scripts/unit4_math_full.md

الوحدة الرابعة: تطبيقات المثلثات (Triangle Applications)

(الصفحات 98 - 132)

مقدمة ومشروع الوحدة: صُنْعُ كلينومتر واستعمالُهُ

ما أهمية هذه الوحدة؟

للنِّسَبِ المثلثيّةِ استعمالاتٌ كثيرةٌ في العلومِ، والهندسةِ، والإلكترونياتِ، مثلِ: حسابِ ارتفاعاتِ قِمَمِ الجبالِ والمباني، وتحديدِ اتجاهاتِ تحليقِ الطائراتِ على الخريطةِ، وحسابِ مساحاتِ الأراضي غيرِ المنتظمةِ.

تعلَّمْتُ سابقاً:

• إيجاد النسب المثلثية في الأرباع الأربعة.
• استخدام متطابقة فيثاغورس \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.
• حل المثلث القائم الزاوية.

سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ:

• تفسير الاتجاه من الشمال وحسابه.
• قانون الجيوب (Law of Sines).
• قانون جيوب التمام (Law of Cosines).
• استعمال جيب الزاوية لحساب مساحة المثلث.
• حل مسائل ثلاثية الأبعاد.

مشروع الوحدة: صُنْع كلينومتر (Clinometer) (صفحة 99)

• قياس زاوية الارتفاع (90^\circ - x).
• حساب الارتفاع: h = l \tan(90^\circ - x) \implies H_{\text{total}} = h + d

---

الدرس 1: الاتجاهُ منَ الشمالِ (Bearing)

(الصفحات 100 - 105)

• فكرة الدرس: كتابة الاتجاه من الشمال بزاوية من 3 أرقام تُقاس مع عقارب الساعة من خط الشمال الجغرافي.
• الاتجاهات الرئيسة:
  • الشمال: 000^\circ (أو 360^\circ)
  • الشرق: 090^\circ
  • الجنوب: 180^\circ
  • الغرب: 270^\circ

مسألة اليوم (صفحة 100):

طائرة عمان-العقبة باتجاه 200^\circ \implies اتجاه العودة: 200^\circ - 180^\circ = 020^\circ.

مثال 1:

• اتجاه المدينة B من A: 070^\circ.
• اتجاه المدينة C من A: 360^\circ - 115^\circ = 245^\circ.

مثال 2 (تحالف خطوط الشمال المتوازية):

إذا كان اتجاه S من R هو 240^\circ \implies اتجاه R من S هو:

\text{الاتجاه} = 180^\circ - (360^\circ - 240^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 060^\circ

مثال 3 (خرائط الأردن وفلسطين):

• اتجاه عمان من القدس الشريف: 078^\circ.
• اتجاه حيفا من القدس الشريف: 338^\circ.

أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1):

1-3) قياس الاتجاهات بالمنقلة (225^\circ, 270^\circ, 090^\circ). 6) اتجاه B من A: 070^\circ + 180^\circ = 250^\circ. 7) اتجاه Y من X: 324^\circ - 180^\circ = 144^\circ. 9-10) ملاحة بحرية: الاتجاهات 090^\circ, 180^\circ, 270^\circ. 17) زاوية استدارة الطائرة: 180^\circ - 072^\circ = 108^\circ. 19) اتجاه عودة الطائرة: 020^\circ.

مهارات التفكير العليا:

21. المسافة SP: (SP)^2 = 57^2 + 38^2 - 2(57)(38)\cos 135^\circ = 7756.18 \implies SP \approx 88.07\text{ km}
22. اتجاه السفينة من الميناء: \sin \angle P = \frac{38 \sin 135^\circ}{88.07} \approx 0.3051 \implies \text{الاتجاه} \approx 018^\circ.

---

الدرس 2: قانونُ الجيوبِ (Law of Sines)

(الصفحات 106 - 112)

• فكرة الدرس: حل المثلث في حالتي (AAS / ASA) و (SSA).
• صيغة القانون: \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

مسألة اليوم (صفحة 106 - جرش والزرقاء ومأدبا):

m\angle M = 180^\circ - (52^\circ + 93^\circ) = 35^\circ \implies z = \frac{44 \sin 93^\circ}{\sin 35^\circ} \approx 76.6\text{ km}

مثال 1 (إيجاد طول ضلع):

\frac{x}{\sin 84^\circ} = \frac{25}{\sin 47^\circ} \implies x = \frac{25 \sin 84^\circ}{\sin 47^\circ} \approx 34\text{ cm}

مثال 2 (إيجاد قياس زاوية):

\frac{\sin x}{7} = \frac{\sin 40^\circ}{6} \implies \sin x \approx 0.7499 \implies x \approx 48.6^\circ

مثال 3 (ارتفاع برج فوق تلة):

\frac{h}{\sin 30^\circ} = \frac{25}{\sin 40^\circ} \implies h = \frac{25 \sin 30^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 19.45\text{ m}

مثال 4 (سفينة استغاثة وخفر السواحل):

\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{120}{\sin 70^\circ} \implies b \approx 110.59\text{ km}, \quad a \approx 97.82\text{ km}

أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2):

1-6) إيجاد الأطوال والزوايا المجهولة في المثلثات. 7) الزاوية المنفرجة: m\angle CBA = 180^\circ - 45.6^\circ = 134.4^\circ. 9) ارتفاع الجبل البحري: h \approx 2411\text{ m}. 13) تبرير: رصاصة القناص تصيب الهدف أولاً لأن مسافتها أقصر (59.4\text{ m} < 66.5\text{ m}). 14) تحدّ: ارتفاع الجسر عن القارب h \approx 299.2\text{ m}.

---

الدرس 3: قانونُ جيوبِ التمامِ (Law of Cosines)

(الصفحات 113 - 118)

• فكرة الدرس: حل المثلث في حالتي (SAS) و (SSS).
• القوانين:
  • a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
  • \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

مسألة اليوم (صفحة 113):

المسافة بين الحافلتين بعد 3 ساعات (180\text{ km} و 150\text{ km} بزاوية 30^\circ):

d = \sqrt{180^2 + 150^2 - 2(180)(150)\cos 30^\circ} = \sqrt{54900 - 46765.37} \approx 90.2\text{ km}

مثال 1 (إيجاد طول ضلع):

x^2 = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10)\cos 80^\circ = 115.16 \implies x \approx 10.7\text{ cm}

مثال 2 (إيجاد قياس زاوية):

\cos x = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2(5)(7)} = \frac{10}{70} \approx 0.1428 \implies x \approx 81.8^\circ

مثال 3 (طائرة مروحية بين قريتين):

XY = \sqrt{12^2 + 8.5^2 - 2(12)(8.5)\cos 62.7^\circ} \approx 11.1\text{ km}

مثال 4 (ملاحة جوية):

AB = \sqrt{400^2 + 500^2 - 2(400)(500)\cos 110^\circ} \approx 739.5\text{ km}

أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3):

1-6) حساب الأضلاع والزوايا المجهولة. 7) ملاحة بحرية: المسافة المباشرة d \approx 58.4\text{ km}. 8) كرة قدم: زاوية التسديد على المرمى \theta \approx 9.4^\circ. 10) عقارب الساعة عند 4:00: المسافة d = \sqrt{37} \approx 6.08\text{ cm}. 12) تحدّ: أصغر زاوية في مثلث أضلاعه 3a, 5a, 7a هي \cos \theta = \frac{13}{14} \implies \theta \approx 21.8^\circ.

---

الدرس 4: استعمالُ جيبِ الزاويةِ لإيجادِ مساحةِ المثلثِ

(الصفحات 119 - 123)

• فكرة الدرس: حساب مساحة المثلث باستعمال طولي ضلعين وجيب الزاوية المحصورة.
• قانون المساحة: \text{Area} = K = \frac{1}{2} a b \sin C

مسألة اليوم (صفحة 119):

مساحة أرض البطاطا:

K = \frac{1}{2}(84)(110)\sin 145^\circ \approx 2650\text{ m}^2 \implies \text{كمية الدرنات} = 2650 \times 0.15 = 397.5\text{ kg}

مثال 1:

K = \frac{1}{2}(8)(6)\sin 30^\circ = 12\text{ units}^2

مثال 2 (معرفة الأضلاع الثلاثة SSS):

\cos C = \frac{13^2 + 19^2 - 8^2}{2(13)(19)} \approx 0.9433 \implies C \approx 19.4^\circ \implies K = \frac{1}{2}(13)(19)\sin 19.4^\circ \approx 41.0\text{ cm}^2

مثال 3 (مثلث عمان والمفرق والأزرق):

\cos B = \frac{98^2 + 70^2 - 103^2}{2(98)(70)} \approx 0.2839 \implies B \approx 73.5^\circ \implies K \approx 3288.8\text{ km}^2

أتدرب وأحل المسائل (الدرس 4):

1-5) حساب مساحات المثلثات. 6) إيجاد الضلع المجهول: AC \approx 4.26\text{ cm}. 18) تحدّ: مساحة المثلث بمعلومية زاويتين وضلع K \approx 8.5\text{ cm}^2. 19) أكتشف الخطأ: نور استعملت زاوية غير محصورة، والتصحيح K = \frac{1}{2}(8)(9)\sin 115.8^\circ \approx 32.4\text{ cm}^2.

---

الدرس 5: حلُّ مسائلَ ثلاثيّةِ الأبعادِ (Solving Problems in Three Dimensions)

(الصفحات 124 - 129)

• فكرة الدرس: حساب الأطوال والزوايا في المجسمات (متوازي المستطيلات، الأهرامات، وتطبيقات الرصد).

مسألة اليوم (صفحة 124 - ارتفاع الهرم الأكبر):

• نصف قطر قاعدة المربع: d = \frac{232.6\sqrt{2}}{2} \approx 164.47\text{ m}.
• ارتفاع الهرم: H = \sqrt{221.2^2 - 164.47^2} \approx 147.9\text{ m}.

مثال 1 (متوازي مستطيلات 12 \times 5 \times 7):

• قطر القاعدة: FH = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm}.
• زاوية القطر الرئيسي مع القاعدة: \tan(\angle AHF) = \frac{7}{13} \implies m\angle AHF \approx 28.3^\circ.

مثال 2 (رصد طائرة من موقعين):

\tan \theta = \frac{8.917}{65.27} \implies \theta \approx 7.8^\circ

مثال 3 (رصد منزلين في اتجاهين متعامدين):

AB = \sqrt{106.2^2 + 171.6^2} \approx 201.8\text{ m}

أتدرب وأحل المسائل (الدرس 5):

1. سارية علم في ساحة مستطيلة: زاوية الارتفاع \theta \approx 25.1^\circ.
2. أكتشف الخطأ: رأي جمال غير صحيح لأن العلاقة ليست خطية، والزاوية الحقيقية \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.083}{28}\right) \approx 16.1^\circ.

---

اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الرابعة (الصفحات 130 - 132)

الإجابات الصحيحة وخطوات الحل:

1. إذا عُلِمت جميع الزوايا: d) لا يُمكِنُ حلُّ المثلثِ في هذهِ الحالةِ
2. إذا عُلِمت جميع الأضلاع: b) قانونِ جيوبِ التمامِ فقطْ
3. زاوية الاتجاه GHJ: c) $29^\circ$
4. صيغة مساحة المثلث: b) $\frac{1}{2} ab \sin C$
5. اتجاه Z من R: c) $250^\circ$ 6-8) إيجاد قيم x في المثلثات (10.5, 62.2^\circ, 27.2).
6. مسافة منزلي نسرين وهبة: d \approx 321.9\text{ m}.
7. زاوية المثلث: m\angle PQR \approx 30.2^\circ. 12-15) الشكل الرباعي: DB = 6.67, m\angle DBC = 58.5^\circ, CD = 9.35, \text{المساحة} \approx 40.67\text{ units}^2.
8. اتجاه الميناء S من P: 240.6^\circ.
9. سرعة الشاحنة: 8.7\text{ km/h}. 19-20) برج بيزا المائل: $m\angle RPQ = 84.4^\circ$، وارتفاع قمة البرج H \approx 54.7\text{ m}.
10. اختبارات دولية: b) موقعُ السفينةِ B بالنسبةِ إلى الطائرةِ أبعدُ منْهُ منَ السفينةِ $A$
11. المسافة بين السفينتين: 700 + 834.2 = 1534.2\text{ m} \implies d) 1534
12. التبرير: زاوية انخفاض B أصغر (40^\circ < 45^\circ) فتكون هي الأبعد أفقياً.