feat: Ingest complete 30 pages of Math Unit 1 (Equations) with full exercises, GeoGebra lab, and exam
This commit is contained in:
Hamza-Ayed
@@ -1,95 +1,255 @@
|
||||
# الوحدة الأولى: المعادلات (Equations)
|
||||
*(الصفحات 6 - 31)*
|
||||
|
||||
## الدرس 1: حل معادلات خاصة (Solving Special Equations)
|
||||
## مقدمة ومشروع الوحدة: أنظمة المعادلات في حياتنا
|
||||
|
||||
### فكرة الدرس
|
||||
حل معادلات خاصة أس المتغير فيها عدد صحيح موجب أكبر من 2.
|
||||
### ما أهمية هذه الوحدة؟
|
||||
تُستخدَم أنظمةُ المعادلاتِ في كثيرٍ من مجالاتِ الحياةِ. فخبراءُ الأرصادِ الجويّةِ -مثلاً- يُعبِّرون عنِ العلاقةِ بينَ درجةِ الحرارةِ، وسرعةِ الرّياحِ، والضغطِ الجويِّ، ومعدلِ الهطلِ، باستخدامِ نظامِ معادلاتٍ غيرِ خطيٍّ؛ ذلكَ أنَّ أيَّ تغيُّرٍ في أحدِ هذهِ العواملِ يؤدّي إلى تغيُّرٍ في العواملِ الأخرى.
|
||||
|
||||
### المصطلحات
|
||||
الصورة التربيعية (Quadratic Form).
|
||||
### تعلَّمْتُ سابقاً:
|
||||
- حلَّ معادلاتٍ تربيعيّةٍ باستعمالِ التحليلِ.
|
||||
- حلَّ معادلاتٍ تربيعيّةٍ باستعمالِ القانونِ العامِّ.
|
||||
- حلَّ أنظمةِ معادلاتٍ تتضمَّنُ معادلتيْنِ خطيّتيْنِ بمتغيِّريْنِ.
|
||||
|
||||
### مسألة اليوم (صفحة 8)
|
||||
> كيس للهدايا على شكل متوازي مستطيلات، حجمه $1152\text{ cm}^3$، وأبعاده بدلالة المتغير $w$: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، العرض $w\text{ cm}$، الارتفاع $(2w + 4)\text{ cm}$. أجد أبعاده.
|
||||
### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ:
|
||||
- حلَّ معادلاتٍ خاصّةٍ أُسُّ المتغيّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ من $2$.
|
||||
- حلَّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ، وأُخرى تربيعيّةٍ.
|
||||
- حلَّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ.
|
||||
|
||||
### البند 1: حل المعادلات بإخراج العامل المشترك الأكبر
|
||||
> **أتعلم:** أكتب جميع حدود المعادلة في الطرف الأيسر من المعادلة قبل إخراج العامل المشترك الأكبر.
|
||||
> **أتعلم:** أحتاج في بعض المعادلات إلى استعمال طرائق حل المعادلات التربيعية التي تعلمتها سابقاً، بعد إخراج العامل المشترك الأكبر.
|
||||
### مشروع الوحدة: أنظمةُ المعادلاتِ في حياتِنا (صفحة 7)
|
||||
- **فكرة المشروع:** البحثُ عن أنظمةِ معادلاتٍ في نماذجَ حياتيّةٍ.
|
||||
- **المواد والأدوات:** شبكةُ الإنترنت، برمجيّةُ جيوجبرا (GeoGebra).
|
||||
- **الصيغة المستخدمة في جيوجبرا:**
|
||||
$$\text{FitPoly}(\{C, D, E, F, G, H, I, J, K, L\}, n)$$
|
||||
|
||||
#### مثال 1: أحل كلاً من المعادلات الآتية:
|
||||
##### 1) $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
||||
- المعادلة المعطاة: $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
||||
- بطرح $5x$ من طرفي المعادلة: $x^3 + 4x^2 - 5x = 0$
|
||||
- بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر $x$:
|
||||
$$x(x^2 + 4x - 5) = 0$$
|
||||
- بالتحليل إلى العوامل (ثلاثي الحدود التربيعي):
|
||||
$$x(x + 5)(x - 1) = 0$$
|
||||
- باستخدام خاصية الضرب الصفري:
|
||||
$$x = 0 \quad \text{أو} \quad x + 5 = 0 \quad \text{أو} \quad x - 1 = 0$$
|
||||
- إذن، جذور المعادلة هي: $\{-5, 0, 1\}$.
|
||||
---
|
||||
|
||||
##### 2) $2x^3 = 18x$
|
||||
- المعادلة المعطاة: $2x^3 = 18x$
|
||||
- بطرح $18x$ من طرفي المعادلة: $2x^3 - 18x = 0$
|
||||
- بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر $2x$:
|
||||
$$2x(x^2 - 9) = 0$$
|
||||
- بتحليل الفرق بين مربعين:
|
||||
$$2x(x - 3)(x + 3) = 0$$
|
||||
- إذن، جذور المعادلة هي: $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
## الدرس 1: حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ (Solving Special Equations)
|
||||
*(الصفحات 8 - 15)*
|
||||
|
||||
### البند 2: حل المعادلات بالتجميع (Factoring by Grouping)
|
||||
- **فكرة الدرس:** حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ أُسُّ المتغيّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ من $2$.
|
||||
- **المصطلحات:** الصورةُ التربيعيّةُ (Quadratic Form).
|
||||
|
||||
### مسألة اليوم (صفحة 8):
|
||||
> كيسٌ للهدايا على شكلِ متوازي مستطيلاتٍ، حجمُهُ $1152\text{ cm}^3$، وأبعادُهُ بدلالةِ المتغيّرِ $w$ مُوضَّحةٌ في الشكلِ المجاورِ: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، والعرض $w\text{ cm}$، والارتفاع $(2w + 4)\text{ cm}$. أَجِدُ أبعادَهُ.
|
||||
|
||||
### البند 1: حلُّ المعادلاتِ بإخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ
|
||||
> **أتعلم (1):** أحتاجُ في بعضِ المعادلاتِ إلى استعمالِ طرائقِ حلِّ المعادلاتِ التربيعيّةِ التي تعلَّمتُها سابقاً، بعدَ إخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ.
|
||||
> **أتعلم (2):** أكتبُ جميعَ حدودِ المعادلةِ في الطرفِ الأيسرِ منَ المعادلةِ قبلَ إخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ.
|
||||
|
||||
#### مثال 1:
|
||||
1) $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
||||
$$x^3 + 4x^2 - 5x = 0 \implies x(x^2 + 4x - 5) = 0 \implies x(x + 5)(x - 1) = 0$$
|
||||
الجذور: $\{-5, 0, 1\}$.
|
||||
|
||||
2) $2x^3 = 18x$
|
||||
$$2x^3 - 18x = 0 \implies 2x(x^2 - 9) = 0 \implies 2x(x - 3)(x + 3) = 0$$
|
||||
الجذور: $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 9):
|
||||
a) $x^3 + 12x = 7x^2 \implies x^3 - 7x^2 + 12x = 0 \implies x(x - 3)(x - 4) = 0 \implies x \in \{0, 3, 4\}$.
|
||||
b) $x^3 = 25x \implies x(x - 5)(x + 5) = 0 \implies x \in \{-5, 0, 5\}$.
|
||||
|
||||
### البند 2: حلُّ المعادلاتِ بالتجميعِ (Solving Equations by Grouping)
|
||||
#### مثال 2:
|
||||
##### 1) $x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0$
|
||||
- بتجميع الحدود ذات العوامل المشتركة:
|
||||
$$(x^3 - 2x^2) + (9x - 18) = 0$$
|
||||
- بتحليل كل تجميع:
|
||||
$$x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0$$
|
||||
- بما أن مميز $x^2 + 9 = 0$ سالب ($\Delta = -36 < 0$)، فإن الجذر الحقيقي الوحيد هو: $x = 2$.
|
||||
1) $x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0 \implies x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0 \implies x = 2$.
|
||||
2) $4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0 \implies x \in \left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$.
|
||||
|
||||
##### 2) $4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0$
|
||||
$$(4x^3 + 8x^2) - (5x + 10) = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0$$
|
||||
- الجذور: $\left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$.
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 10):
|
||||
a) $9x^3 + 18x^2 + 2x + 4 = 0 \implies (x + 2)(9x^2 + 2) = 0 \implies x = -2$.
|
||||
b) $2x^3 + x^2 - 14x - 7 = 0 \implies (2x + 1)(x^2 - 7) = 0 \implies x \in \left\{-\sqrt{7}, -\frac{1}{2}, \sqrt{7}\right\}$.
|
||||
|
||||
### البند 3: تحليل مجموع مكعبين أو الفرق بينهما
|
||||
### البند 3: مجموع مكعبين والفرق بينهما
|
||||
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
|
||||
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
|
||||
|
||||
#### مثال 3:
|
||||
1) $8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
|
||||
2) $x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5$
|
||||
3) $128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(64x^3 - 27) = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \{0, \frac{3}{4}\}$
|
||||
1) $8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
|
||||
2) $x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5$.
|
||||
3) $128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \left\{0, \frac{3}{4}\right\}$.
|
||||
|
||||
### البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية (Quadratic Form)
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 12):
|
||||
a) $27x^3 - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.
|
||||
b) $x^3 + 1000 = 0 \implies x = -10$.
|
||||
c) $16x^4 - 250x = 0 \implies x \in \{0, 2.5\}$.
|
||||
|
||||
### البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية
|
||||
#### مثال 4: $x^6 - 3x^3 - 40 = 0$
|
||||
- بفرض $u = x^3$:
|
||||
$$u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0$$
|
||||
$$x^3 = 8 \implies x = 2, \quad x^3 = -5 \implies x = \sqrt[3]{-5}$$
|
||||
بفرض $u = x^3$:
|
||||
$$u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0 \implies x = 2, \quad x = \sqrt[3]{-5}$$
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا
|
||||
1) **أكتشف الخطأ:** حل نداء $2x^4 - 18x^2 = 0$ أهمل الجذر $x = 0$. الحل الصحيح $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
2) **تحدٍّ:** $(x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies u^2 - 2u - 3 = 0 \implies u = 3, u = -1 \implies x \in \{-2, 0, 2\}$.
|
||||
3) **تبرير:** $5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies x(5x^2 + wx + 80) = 0 \implies \Delta = w^2 - 1600 = 0 \implies w = \pm 40$.
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 13):
|
||||
a) $x^4 - 625 = 0 \implies x = \pm 5$.
|
||||
b) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0 \implies x \in \{-\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}\}$.
|
||||
|
||||
## معمل جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانياً
|
||||
### البند 5: تطبيقات حياتية
|
||||
#### مثال 5: صناعة صناديق
|
||||
$$h^3 - 120h^2 + 2700h - 324000 = 0 \implies (h - 120)(h^2 + 2700) = 0 \implies h = 120\text{ cm}$$
|
||||
الأبعاد: الارتفاع $120\text{ cm}$، الطول $90\text{ cm}$، العرض $30\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
### النشاط
|
||||
حل نظام المعادلات التربيعية بيانياً باستعمال برمجية جيوجبرا:
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 14):
|
||||
$$(x + 6)(x - 1)(x - 2) = 60 \implies x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0 \implies (x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0 \implies x = 4$$
|
||||
الأبعاد: الطول $10\text{ cm}$، العرض $3\text{ cm}$، الارتفاع $2\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1):
|
||||
1) $3x^4 - 12x^3 = 0 \implies x \in \{0, 4\}$
|
||||
2) $35x^3 - 28x^2 - 7x = 0 \implies x \in \{-\frac{1}{5}, 0, 1\}$
|
||||
3) $6x^6 - 3x^4 - 9x^2 = 0 \implies x \in \{-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0, \frac{\sqrt{6}}{2}\}$
|
||||
4) $2x^3 + 4x^2 + 2x = 0 \implies x \in \{-1, 0\}$
|
||||
5) $3x^3 = 12x \implies x \in \{-2, 0, 2\}$
|
||||
6) $x^3 + 4x^2 + 4x = 0 \implies x \in \{-2, 0\}$
|
||||
7) $2x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0 \implies x \in \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1.5\}$
|
||||
8) $10x^3 - 15x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$
|
||||
9) $x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0 \implies x = 3$
|
||||
10) $125x^3 - 1 = 0 \implies x = 0.2$
|
||||
11) $3x^3 + 3000 = 0 \implies x = -10$
|
||||
12) $x^4 + x^3 - 12x - 12 = 0 \implies x \in \{-1, \sqrt[3]{12}\}$
|
||||
13) $5x^3 - 320 = 0 \implies x = 4$
|
||||
14) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \implies x \in \{-2, -1, 1, 2\}$
|
||||
15) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0 \implies x \in \{-2, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 2\}$
|
||||
16) $4x^4 + 20x^2 = -25 \implies \varnothing$
|
||||
17) $16x^4 - 81 = 0 \implies x \in \{-1.5, 1.5\}$
|
||||
18) $5w^6 - 25w^3 + 30 = 0 \implies w \in \{\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\}$
|
||||
19) $R(t) = 23 \implies t = 8\text{ years}$
|
||||
20) الأسطوانة: $h = 8\text{ cm}, r = 5\text{ cm}$
|
||||
21) كيس الهدايا: إما $6\text{ cm} \times 12\text{ cm} \times 16\text{ cm}$ أو $16\text{ cm} \times 2\text{ cm} \times 36\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا:
|
||||
22) **أكتشف الخطأ:** أهملت نداء الجذر $x=0$. الحل الصحيح $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
23) **تحدّ:** $x^6 + 4x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{-2 \pm \sqrt{6}}$.
|
||||
24) **تحدّ:** $(x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies x \in \{-2, 0, 2\}$.
|
||||
25) **تبرير:** $5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies w = \pm 40$.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## معملُ برمجيةِ جيوجبرا: حلُّ أنظمةِ المعادلاتِ بيانياً
|
||||
*(الصفحات 16 - 17)*
|
||||
|
||||
### النشاط:
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases}$$
|
||||
نقاط التقاطع الأربع:
|
||||
$$A(-2, -3), \quad B(2, -3), \quad C(-3, 2), \quad D(3, 2)$$
|
||||
$$(-3, 2), \quad (3, 2), \quad (-2, -3), \quad (2, -3)$$
|
||||
|
||||
## الدرس 2: حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية
|
||||
### أتدرب (صفحة 17):
|
||||
1) $\Delta = -144 < 0 \implies \varnothing$
|
||||
2) $\{(2, 4), (-2, 4)\}$
|
||||
3) $\{(8.625, 7.375)\}$
|
||||
4) $\Delta = -295 < 0 \implies \varnothing$
|
||||
5) $\left\{\left(\frac{3}{\sqrt{37}}, \frac{18}{\sqrt{37}}\right), \left(-\frac{3}{\sqrt{37}}, -\frac{18}{\sqrt{37}}\right)\right\}$
|
||||
6) $\Delta = -59 < 0 \implies \varnothing$
|
||||
|
||||
### فكرة الدرس
|
||||
حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية.
|
||||
---
|
||||
|
||||
## الدرس 2: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ
|
||||
*(الصفحات 18 - 24)*
|
||||
|
||||
- **فكرة الدرس:** حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ.
|
||||
|
||||
### مثال 1:
|
||||
$$\begin{cases} x - y = 1 \implies y = x - 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$
|
||||
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$$
|
||||
$$(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, x = -1$$
|
||||
- $x = 2 \implies y = 1 \implies (2, 1)$
|
||||
- $x = -1 \implies y = -2 \implies (-1, -2)$
|
||||
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0$$
|
||||
الحلول: $\{(2, 1), (-1, -2)\}$.
|
||||
|
||||
### مثال 2 (سجادة مستطيلة):
|
||||
سجادة مستطيلة مجموع بعديها $7\text{ m}$ وقطرها $5\text{ m}$:
|
||||
$$x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies (x-4)(x-3)=0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}$$
|
||||
### أتحقق من فهمي (صفحة 19):
|
||||
$$\begin{cases} 2x + y = 12 \implies y = 12 - 2x \\ y = x^2 + 5x - 6 \end{cases} \implies x^2 + 7x - 18 = 0 \implies \{(-9, 30), (2, 8)\}$$
|
||||
|
||||
### مثال 2 (حل وحيد):
|
||||
$$\begin{cases} y - x^2 = 7 - 5x \\ 4y - 8x = -21 \implies y = 2x - 5.25 \end{cases} \implies x = 3.5, y = 1.75 \implies (3.5, 1.75)$$
|
||||
|
||||
### مثال 3 (لا يوجد حل حقيقي):
|
||||
$$\begin{cases} y + x = 5 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases} \implies 2y^2 - 10y + 16 = 0 \implies \Delta = -28 < 0 \implies \varnothing$$
|
||||
|
||||
### مثال 4 (سجادة مستطيلة):
|
||||
$$x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}$$
|
||||
|
||||
### أتحقق من فهمي (صفحة 23 - مزرعة):
|
||||
$$x + y = 70, \quad x^2 + y^2 = 2500 \implies (x - 40)(x - 30) = 0 \implies \text{البعدان: } 40\text{ m}, 30\text{ m}$$
|
||||
|
||||
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2):
|
||||
1) $\{(-2, -6)\}$
|
||||
2) $\{(0, -3), (-4, -11)\}$
|
||||
3) $\varnothing$
|
||||
4) $\{(0.5, 1.25), (-8, 31)\}$
|
||||
5) $\{(-2, 3)\}$
|
||||
6) $\varnothing$
|
||||
7) $\{(3, 5), (-2.2, -5.4)\}$
|
||||
8) $\{(-1, 0)\}$
|
||||
9) $\varnothing$
|
||||
10) $\{(3, 1), (-1, -3)\}$
|
||||
11) $\{(1, 5), (1, -3)\}$
|
||||
12) $\{(-2, 3), (14.5, -8)\}$
|
||||
13) بركة ماء: $5\text{ m}, 3\text{ m}$
|
||||
14) عددان: $7, 5$
|
||||
15) دائرتان: قطراهما $8\text{ cm}, 4\text{ cm}$
|
||||
16) أعمار: شيماء $15$ سنة، ريان $11$ سنة
|
||||
17) تكلفة الإطار: $6.75$ دنانير
|
||||
18) زراعة: طماطم $25\text{ m}^2$، بطاطا $16\text{ m}^2$
|
||||
19) مقذوف: $(25, 3.75)$
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا:
|
||||
20) **تبرير:** $\Delta = -7 < 0$ لا يصل ماء النافورة.
|
||||
21) **تحدّ:** $\Delta = 0 \implies p = -5$.
|
||||
22) **تحدّ:** مساحة شبه المنحرف $= 15.82\text{ units}^2$.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## الدرس 3: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ
|
||||
*(الصفحات 25 - 30)*
|
||||
|
||||
- **فكرة الدرس:** حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ بمتغيِّريْنِ.
|
||||
|
||||
### مثال 1:
|
||||
$$\begin{cases} y = x^2 + 4x - 3 \\ y = -x^2 + 2x - 3 \end{cases} \implies 2x^2 + 2x = 0 \implies \{(0, -3), (-1, -6)\}$$
|
||||
|
||||
### مثال 2 (سباقات):
|
||||
$$y = x^2, \quad y = x^2 + 3x - 2 \implies x = \frac{2}{3}, y = \frac{4}{9} \implies (\frac{2}{3}, \frac{4}{9})$$
|
||||
|
||||
### مثال 3 (لا يوجد حل):
|
||||
$$\begin{cases} y = x^2 + x + 2 \\ y = -x^2 - x + 1 \end{cases} \implies \Delta = -4 < 0 \implies \varnothing$$
|
||||
|
||||
### مثال 4 (الحذف - 4 حلول):
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases} \implies y^2 + y - 6 = 0 \implies \{(-2, -3), (2, -3), (-3, 2), (3, 2)\}$$
|
||||
|
||||
### أتحقق من فهمي (صفحة 29):
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ 3y - x^2 = -12 \end{cases} \implies \{(0, -4), (\sqrt{15}, 1), (-\sqrt{15}, 1)\}$$
|
||||
|
||||
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3):
|
||||
1) $\{(0, -5), (-1, -4)\}$
|
||||
2) $\varnothing$
|
||||
3) $\{(2, 5), (-2, 5)\}$
|
||||
4) $\varnothing$
|
||||
5) $\{(0, 0), (5, 0)\}$
|
||||
6) $\{(-6, 36)\}$
|
||||
7) $\{(0, 8)\}$
|
||||
8) $(\pm 2.8, 2.85)$ و $(\pm 1.07, -3.85)$
|
||||
9) $\{(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)\}$
|
||||
10) تقاطع دائرتين: $(1.98, 2.25), (-1.98, 2.25)$
|
||||
11) عددان: $8, 5$
|
||||
12) فيزياء: $t = 4\text{ s}, y = 26\text{ m}$
|
||||
13) ثقافة مالية: نقطة التوازن $(9, 135)$
|
||||
14) $\{(2, 1), (-2, -1), (\sqrt{3}, \sqrt{3}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})\}$
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا:
|
||||
15) **تبرير:** قول زينب صحيح لأن الدائرتين متحدتا المركز بنصفي قطرين مختلفين.
|
||||
16) **مسألة مفتوحة:** $x^2 + y^2 = 1, x^2 + y^2 = 16$.
|
||||
17) **تحدّ:** إما قاعدة $80\text{ m}$ وارتفاع $30\text{ m}$، أو قاعدة $60\text{ m}$ وارتفاع $40\text{ m}$.
|
||||
18) **مسألة مفتوحة:** $x^2 + y^2 = 34, x^2 - y^2 = 16$.
|
||||
19) **تحدّ:** الأبعاد $13.03\text{ cm} \times 16.57\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الأولى (صفحة 31)
|
||||
|
||||
### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل:
|
||||
1) $x^2 + (6 - 3x)^2 = 4 \implies (5x - 8)(x - 2) = 0 \implies$ **c) (2, 0)**
|
||||
2) $x^2 - 5x + 6 = -x^2 + 2x + 3 \implies (2x - 1)(x - 3) = 0 \implies$ **d) (3, 0)**
|
||||
3) $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x^2 - 1) = 0 \implies$ **c) -2, -1, 1**
|
||||
4) $y = 4x, y = 5 - x^2 \implies \{(1, 4), (-5, -20)\}$
|
||||
5) $y = -x^2 - x + 12, y = x^2 + 7x + 12 \implies \{(0, 12), (-4, 0)\}$
|
||||
6) $3x^4 = 27x^2 \implies \{-3, 0, 3\}$
|
||||
7) $x^3 + x^2 = 4x + 4 \implies \{-2, -1, 2\}$
|
||||
8) $2x^3 + 3x^2 = 8x + 12 \implies \{-2, -1.5, 2\}$
|
||||
9) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0 \implies \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$
|
||||
10) ملعب التنس: الطول $16\text{ m}$، والعرض $14\text{ m}$.
|
||||
11) اختبارات دولية: $x^2 + x - (1 + p) = 0 \implies \Delta = 5 + 4p < 0 \implies p < -\frac{5}{4}$.
|
||||
12) الرقم السري: $X = 9, Y = 3$ أو $X = 3, Y = 9$.
|
||||
|
||||
@@ -1,68 +1,22 @@
|
||||
## الدرس 1: حل معادلات خاصة (Solving Special Equations)
|
||||
## مقدمة ومشروع الوحدة: أنظمة المعادلات في حياتنا
|
||||
|
||||
### فكرة الدرس
|
||||
حل معادلات خاصة أس المتغير فيها عدد صحيح موجب أكبر من 2.
|
||||
### ما أهمية هذه الوحدة؟
|
||||
تُستخدَم أنظمةُ المعادلاتِ في كثيرٍ من مجالاتِ الحياةِ. فخبراءُ الأرصادِ الجويّةِ -مثلاً- يُعبِّرون عنِ العلاقةِ بينَ درجةِ الحرارةِ، وسرعةِ الرّياحِ، والضغطِ الجويِّ، ومعدلِ الهطلِ، باستخدامِ نظامِ معادلاتٍ غيرِ خطيٍّ؛ ذلكَ أنَّ أيَّ تغيُّرٍ في أحدِ هذهِ العواملِ يؤدّي إلى تغيُّرٍ في العواملِ الأخرى.
|
||||
|
||||
### المصطلحات
|
||||
الصورة التربيعية (Quadratic Form).
|
||||
### تعلَّمْتُ سابقاً:
|
||||
- حلَّ معادلاتٍ تربيعيّةٍ باستعمالِ التحليلِ.
|
||||
- حلَّ معادلاتٍ تربيعيّةٍ باستعمالِ القانونِ العامِّ.
|
||||
- حلَّ أنظمةِ معادلاتٍ تتضمَّنُ معادلتيْنِ خطيّتيْنِ بمتغيِّريْنِ.
|
||||
|
||||
### مسألة اليوم (صفحة 8)
|
||||
> كيس للهدايا على شكل متوازي مستطيلات، حجمه $1152\text{ cm}^3$، وأبعاده بدلالة المتغير $w$: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، العرض $w\text{ cm}$، الارتفاع $(2w + 4)\text{ cm}$. أجد أبعاده.
|
||||
### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ:
|
||||
- حلَّ معادلاتٍ خاصّةٍ أُسُّ المتغيّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ من $2$.
|
||||
- حلَّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ، وأُخرى تربيعيّةٍ.
|
||||
- حلَّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ.
|
||||
|
||||
### البند 1: حل المعادلات بإخراج العامل المشترك الأكبر
|
||||
> **أتعلم:** أكتب جميع حدود المعادلة في الطرف الأيسر من المعادلة قبل إخراج العامل المشترك الأكبر.
|
||||
> **أتعلم:** أحتاج في بعض المعادلات إلى استعمال طرائق حل المعادلات التربيعية التي تعلمتها سابقاً، بعد إخراج العامل المشترك الأكبر.
|
||||
### مشروع الوحدة: أنظمةُ المعادلاتِ في حياتِنا (صفحة 7)
|
||||
- **فكرة المشروع:** البحثُ عن أنظمةِ معادلاتٍ في نماذجَ حياتيّةٍ.
|
||||
- **المواد والأدوات:** شبكةُ الإنترنت، برمجيّةُ جيوجبرا (GeoGebra).
|
||||
- **الصيغة المستخدمة في جيوجبرا:**
|
||||
$$\text{FitPoly}(\{C, D, E, F, G, H, I, J, K, L\}, n)$$
|
||||
|
||||
#### مثال 1: أحل كلاً من المعادلات الآتية:
|
||||
##### 1) $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
||||
- المعادلة المعطاة: $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
||||
- بطرح $5x$ من طرفي المعادلة: $x^3 + 4x^2 - 5x = 0$
|
||||
- بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر $x$:
|
||||
$$x(x^2 + 4x - 5) = 0$$
|
||||
- بالتحليل إلى العوامل (ثلاثي الحدود التربيعي):
|
||||
$$x(x + 5)(x - 1) = 0$$
|
||||
- باستخدام خاصية الضرب الصفري:
|
||||
$$x = 0 \quad \text{أو} \quad x + 5 = 0 \quad \text{أو} \quad x - 1 = 0$$
|
||||
- إذن، جذور المعادلة هي: $\{-5, 0, 1\}$.
|
||||
|
||||
##### 2) $2x^3 = 18x$
|
||||
- المعادلة المعطاة: $2x^3 = 18x$
|
||||
- بطرح $18x$ من طرفي المعادلة: $2x^3 - 18x = 0$
|
||||
- بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر $2x$:
|
||||
$$2x(x^2 - 9) = 0$$
|
||||
- بتحليل الفرق بين مربعين:
|
||||
$$2x(x - 3)(x + 3) = 0$$
|
||||
- إذن، جذور المعادلة هي: $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
|
||||
### البند 2: حل المعادلات بالتجميع (Factoring by Grouping)
|
||||
#### مثال 2:
|
||||
##### 1) $x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0$
|
||||
- بتجميع الحدود ذات العوامل المشتركة:
|
||||
$$(x^3 - 2x^2) + (9x - 18) = 0$$
|
||||
- بتحليل كل تجميع:
|
||||
$$x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0$$
|
||||
- بما أن مميز $x^2 + 9 = 0$ سالب ($\Delta = -36 < 0$)، فإن الجذر الحقيقي الوحيد هو: $x = 2$.
|
||||
|
||||
##### 2) $4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0$
|
||||
$$(4x^3 + 8x^2) - (5x + 10) = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0$$
|
||||
- الجذور: $\left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$.
|
||||
|
||||
### البند 3: تحليل مجموع مكعبين أو الفرق بينهما
|
||||
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
|
||||
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
|
||||
|
||||
#### مثال 3:
|
||||
1) $8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
|
||||
2) $x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5$
|
||||
3) $128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(64x^3 - 27) = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \{0, \frac{3}{4}\}$
|
||||
|
||||
### البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية (Quadratic Form)
|
||||
#### مثال 4: $x^6 - 3x^3 - 40 = 0$
|
||||
- بفرض $u = x^3$:
|
||||
$$u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0$$
|
||||
$$x^3 = 8 \implies x = 2, \quad x^3 = -5 \implies x = \sqrt[3]{-5}$$
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا
|
||||
1) **أكتشف الخطأ:** حل نداء $2x^4 - 18x^2 = 0$ أهمل الجذر $x = 0$. الحل الصحيح $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
2) **تحدٍّ:** $(x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies u^2 - 2u - 3 = 0 \implies u = 3, u = -1 \implies x \in \{-2, 0, 2\}$.
|
||||
3) **تبرير:** $5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies x(5x^2 + wx + 80) = 0 \implies \Delta = w^2 - 1600 = 0 \implies w = \pm 40$.
|
||||
---
|
||||
@@ -1,7 +1,97 @@
|
||||
## معمل جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانياً
|
||||
## الدرس 1: حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ (Solving Special Equations)
|
||||
*(الصفحات 8 - 15)*
|
||||
|
||||
### النشاط
|
||||
حل نظام المعادلات التربيعية بيانياً باستعمال برمجية جيوجبرا:
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases}$$
|
||||
نقاط التقاطع الأربع:
|
||||
$$A(-2, -3), \quad B(2, -3), \quad C(-3, 2), \quad D(3, 2)$$
|
||||
- **فكرة الدرس:** حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ أُسُّ المتغيّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ من $2$.
|
||||
- **المصطلحات:** الصورةُ التربيعيّةُ (Quadratic Form).
|
||||
|
||||
### مسألة اليوم (صفحة 8):
|
||||
> كيسٌ للهدايا على شكلِ متوازي مستطيلاتٍ، حجمُهُ $1152\text{ cm}^3$، وأبعادُهُ بدلالةِ المتغيّرِ $w$ مُوضَّحةٌ في الشكلِ المجاورِ: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، والعرض $w\text{ cm}$، والارتفاع $(2w + 4)\text{ cm}$. أَجِدُ أبعادَهُ.
|
||||
|
||||
### البند 1: حلُّ المعادلاتِ بإخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ
|
||||
> **أتعلم (1):** أحتاجُ في بعضِ المعادلاتِ إلى استعمالِ طرائقِ حلِّ المعادلاتِ التربيعيّةِ التي تعلَّمتُها سابقاً، بعدَ إخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ.
|
||||
> **أتعلم (2):** أكتبُ جميعَ حدودِ المعادلةِ في الطرفِ الأيسرِ منَ المعادلةِ قبلَ إخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ.
|
||||
|
||||
#### مثال 1:
|
||||
1) $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
||||
$$x^3 + 4x^2 - 5x = 0 \implies x(x^2 + 4x - 5) = 0 \implies x(x + 5)(x - 1) = 0$$
|
||||
الجذور: $\{-5, 0, 1\}$.
|
||||
|
||||
2) $2x^3 = 18x$
|
||||
$$2x^3 - 18x = 0 \implies 2x(x^2 - 9) = 0 \implies 2x(x - 3)(x + 3) = 0$$
|
||||
الجذور: $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 9):
|
||||
a) $x^3 + 12x = 7x^2 \implies x^3 - 7x^2 + 12x = 0 \implies x(x - 3)(x - 4) = 0 \implies x \in \{0, 3, 4\}$.
|
||||
b) $x^3 = 25x \implies x(x - 5)(x + 5) = 0 \implies x \in \{-5, 0, 5\}$.
|
||||
|
||||
### البند 2: حلُّ المعادلاتِ بالتجميعِ (Solving Equations by Grouping)
|
||||
#### مثال 2:
|
||||
1) $x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0 \implies x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0 \implies x = 2$.
|
||||
2) $4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0 \implies x \in \left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$.
|
||||
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 10):
|
||||
a) $9x^3 + 18x^2 + 2x + 4 = 0 \implies (x + 2)(9x^2 + 2) = 0 \implies x = -2$.
|
||||
b) $2x^3 + x^2 - 14x - 7 = 0 \implies (2x + 1)(x^2 - 7) = 0 \implies x \in \left\{-\sqrt{7}, -\frac{1}{2}, \sqrt{7}\right\}$.
|
||||
|
||||
### البند 3: مجموع مكعبين والفرق بينهما
|
||||
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
|
||||
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
|
||||
|
||||
#### مثال 3:
|
||||
1) $8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
|
||||
2) $x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5$.
|
||||
3) $128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \left\{0, \frac{3}{4}\right\}$.
|
||||
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 12):
|
||||
a) $27x^3 - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.
|
||||
b) $x^3 + 1000 = 0 \implies x = -10$.
|
||||
c) $16x^4 - 250x = 0 \implies x \in \{0, 2.5\}$.
|
||||
|
||||
### البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية
|
||||
#### مثال 4: $x^6 - 3x^3 - 40 = 0$
|
||||
بفرض $u = x^3$:
|
||||
$$u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0 \implies x = 2, \quad x = \sqrt[3]{-5}$$
|
||||
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 13):
|
||||
a) $x^4 - 625 = 0 \implies x = \pm 5$.
|
||||
b) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0 \implies x \in \{-\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}\}$.
|
||||
|
||||
### البند 5: تطبيقات حياتية
|
||||
#### مثال 5: صناعة صناديق
|
||||
$$h^3 - 120h^2 + 2700h - 324000 = 0 \implies (h - 120)(h^2 + 2700) = 0 \implies h = 120\text{ cm}$$
|
||||
الأبعاد: الارتفاع $120\text{ cm}$، الطول $90\text{ cm}$، العرض $30\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
#### أتحقق من فهمي (صفحة 14):
|
||||
$$(x + 6)(x - 1)(x - 2) = 60 \implies x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0 \implies (x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0 \implies x = 4$$
|
||||
الأبعاد: الطول $10\text{ cm}$، العرض $3\text{ cm}$، الارتفاع $2\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1):
|
||||
1) $3x^4 - 12x^3 = 0 \implies x \in \{0, 4\}$
|
||||
2) $35x^3 - 28x^2 - 7x = 0 \implies x \in \{-\frac{1}{5}, 0, 1\}$
|
||||
3) $6x^6 - 3x^4 - 9x^2 = 0 \implies x \in \{-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0, \frac{\sqrt{6}}{2}\}$
|
||||
4) $2x^3 + 4x^2 + 2x = 0 \implies x \in \{-1, 0\}$
|
||||
5) $3x^3 = 12x \implies x \in \{-2, 0, 2\}$
|
||||
6) $x^3 + 4x^2 + 4x = 0 \implies x \in \{-2, 0\}$
|
||||
7) $2x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0 \implies x \in \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1.5\}$
|
||||
8) $10x^3 - 15x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$
|
||||
9) $x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0 \implies x = 3$
|
||||
10) $125x^3 - 1 = 0 \implies x = 0.2$
|
||||
11) $3x^3 + 3000 = 0 \implies x = -10$
|
||||
12) $x^4 + x^3 - 12x - 12 = 0 \implies x \in \{-1, \sqrt[3]{12}\}$
|
||||
13) $5x^3 - 320 = 0 \implies x = 4$
|
||||
14) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \implies x \in \{-2, -1, 1, 2\}$
|
||||
15) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0 \implies x \in \{-2, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 2\}$
|
||||
16) $4x^4 + 20x^2 = -25 \implies \varnothing$
|
||||
17) $16x^4 - 81 = 0 \implies x \in \{-1.5, 1.5\}$
|
||||
18) $5w^6 - 25w^3 + 30 = 0 \implies w \in \{\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\}$
|
||||
19) $R(t) = 23 \implies t = 8\text{ years}$
|
||||
20) الأسطوانة: $h = 8\text{ cm}, r = 5\text{ cm}$
|
||||
21) كيس الهدايا: إما $6\text{ cm} \times 12\text{ cm} \times 16\text{ cm}$ أو $16\text{ cm} \times 2\text{ cm} \times 36\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا:
|
||||
22) **أكتشف الخطأ:** أهملت نداء الجذر $x=0$. الحل الصحيح $\{-3, 0, 3\}$.
|
||||
23) **تحدّ:** $x^6 + 4x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{-2 \pm \sqrt{6}}$.
|
||||
24) **تحدّ:** $(x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies x \in \{-2, 0, 2\}$.
|
||||
25) **تبرير:** $5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies w = \pm 40$.
|
||||
|
||||
---
|
||||
@@ -1,16 +1,17 @@
|
||||
## الدرس 2: حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية
|
||||
## معملُ برمجيةِ جيوجبرا: حلُّ أنظمةِ المعادلاتِ بيانياً
|
||||
*(الصفحات 16 - 17)*
|
||||
|
||||
### فكرة الدرس
|
||||
حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية.
|
||||
### النشاط:
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases}$$
|
||||
نقاط التقاطع الأربع:
|
||||
$$(-3, 2), \quad (3, 2), \quad (-2, -3), \quad (2, -3)$$
|
||||
|
||||
### مثال 1:
|
||||
$$\begin{cases} x - y = 1 \implies y = x - 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$
|
||||
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$$
|
||||
$$(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, x = -1$$
|
||||
- $x = 2 \implies y = 1 \implies (2, 1)$
|
||||
- $x = -1 \implies y = -2 \implies (-1, -2)$
|
||||
الحلول: $\{(2, 1), (-1, -2)\}$.
|
||||
### أتدرب (صفحة 17):
|
||||
1) $\Delta = -144 < 0 \implies \varnothing$
|
||||
2) $\{(2, 4), (-2, 4)\}$
|
||||
3) $\{(8.625, 7.375)\}$
|
||||
4) $\Delta = -295 < 0 \implies \varnothing$
|
||||
5) $\left\{\left(\frac{3}{\sqrt{37}}, \frac{18}{\sqrt{37}}\right), \left(-\frac{3}{\sqrt{37}}, -\frac{18}{\sqrt{37}}\right)\right\}$
|
||||
6) $\Delta = -59 < 0 \implies \varnothing$
|
||||
|
||||
### مثال 2 (سجادة مستطيلة):
|
||||
سجادة مستطيلة مجموع بعديها $7\text{ m}$ وقطرها $5\text{ m}$:
|
||||
$$x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies (x-4)(x-3)=0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}$$
|
||||
---
|
||||
@@ -0,0 +1,52 @@
|
||||
## الدرس 2: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ
|
||||
*(الصفحات 18 - 24)*
|
||||
|
||||
- **فكرة الدرس:** حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ.
|
||||
|
||||
### مثال 1:
|
||||
$$\begin{cases} x - y = 1 \implies y = x - 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$
|
||||
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0$$
|
||||
الحلول: $\{(2, 1), (-1, -2)\}$.
|
||||
|
||||
### أتحقق من فهمي (صفحة 19):
|
||||
$$\begin{cases} 2x + y = 12 \implies y = 12 - 2x \\ y = x^2 + 5x - 6 \end{cases} \implies x^2 + 7x - 18 = 0 \implies \{(-9, 30), (2, 8)\}$$
|
||||
|
||||
### مثال 2 (حل وحيد):
|
||||
$$\begin{cases} y - x^2 = 7 - 5x \\ 4y - 8x = -21 \implies y = 2x - 5.25 \end{cases} \implies x = 3.5, y = 1.75 \implies (3.5, 1.75)$$
|
||||
|
||||
### مثال 3 (لا يوجد حل حقيقي):
|
||||
$$\begin{cases} y + x = 5 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases} \implies 2y^2 - 10y + 16 = 0 \implies \Delta = -28 < 0 \implies \varnothing$$
|
||||
|
||||
### مثال 4 (سجادة مستطيلة):
|
||||
$$x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}$$
|
||||
|
||||
### أتحقق من فهمي (صفحة 23 - مزرعة):
|
||||
$$x + y = 70, \quad x^2 + y^2 = 2500 \implies (x - 40)(x - 30) = 0 \implies \text{البعدان: } 40\text{ m}, 30\text{ m}$$
|
||||
|
||||
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2):
|
||||
1) $\{(-2, -6)\}$
|
||||
2) $\{(0, -3), (-4, -11)\}$
|
||||
3) $\varnothing$
|
||||
4) $\{(0.5, 1.25), (-8, 31)\}$
|
||||
5) $\{(-2, 3)\}$
|
||||
6) $\varnothing$
|
||||
7) $\{(3, 5), (-2.2, -5.4)\}$
|
||||
8) $\{(-1, 0)\}$
|
||||
9) $\varnothing$
|
||||
10) $\{(3, 1), (-1, -3)\}$
|
||||
11) $\{(1, 5), (1, -3)\}$
|
||||
12) $\{(-2, 3), (14.5, -8)\}$
|
||||
13) بركة ماء: $5\text{ m}, 3\text{ m}$
|
||||
14) عددان: $7, 5$
|
||||
15) دائرتان: قطراهما $8\text{ cm}, 4\text{ cm}$
|
||||
16) أعمار: شيماء $15$ سنة، ريان $11$ سنة
|
||||
17) تكلفة الإطار: $6.75$ دنانير
|
||||
18) زراعة: طماطم $25\text{ m}^2$، بطاطا $16\text{ m}^2$
|
||||
19) مقذوف: $(25, 3.75)$
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا:
|
||||
20) **تبرير:** $\Delta = -7 < 0$ لا يصل ماء النافورة.
|
||||
21) **تحدّ:** $\Delta = 0 \implies p = -5$.
|
||||
22) **تحدّ:** مساحة شبه المنحرف $= 15.82\text{ units}^2$.
|
||||
|
||||
---
|
||||
@@ -0,0 +1,44 @@
|
||||
## الدرس 3: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ
|
||||
*(الصفحات 25 - 30)*
|
||||
|
||||
- **فكرة الدرس:** حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ بمتغيِّريْنِ.
|
||||
|
||||
### مثال 1:
|
||||
$$\begin{cases} y = x^2 + 4x - 3 \\ y = -x^2 + 2x - 3 \end{cases} \implies 2x^2 + 2x = 0 \implies \{(0, -3), (-1, -6)\}$$
|
||||
|
||||
### مثال 2 (سباقات):
|
||||
$$y = x^2, \quad y = x^2 + 3x - 2 \implies x = \frac{2}{3}, y = \frac{4}{9} \implies (\frac{2}{3}, \frac{4}{9})$$
|
||||
|
||||
### مثال 3 (لا يوجد حل):
|
||||
$$\begin{cases} y = x^2 + x + 2 \\ y = -x^2 - x + 1 \end{cases} \implies \Delta = -4 < 0 \implies \varnothing$$
|
||||
|
||||
### مثال 4 (الحذف - 4 حلول):
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases} \implies y^2 + y - 6 = 0 \implies \{(-2, -3), (2, -3), (-3, 2), (3, 2)\}$$
|
||||
|
||||
### أتحقق من فهمي (صفحة 29):
|
||||
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ 3y - x^2 = -12 \end{cases} \implies \{(0, -4), (\sqrt{15}, 1), (-\sqrt{15}, 1)\}$$
|
||||
|
||||
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3):
|
||||
1) $\{(0, -5), (-1, -4)\}$
|
||||
2) $\varnothing$
|
||||
3) $\{(2, 5), (-2, 5)\}$
|
||||
4) $\varnothing$
|
||||
5) $\{(0, 0), (5, 0)\}$
|
||||
6) $\{(-6, 36)\}$
|
||||
7) $\{(0, 8)\}$
|
||||
8) $(\pm 2.8, 2.85)$ و $(\pm 1.07, -3.85)$
|
||||
9) $\{(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)\}$
|
||||
10) تقاطع دائرتين: $(1.98, 2.25), (-1.98, 2.25)$
|
||||
11) عددان: $8, 5$
|
||||
12) فيزياء: $t = 4\text{ s}, y = 26\text{ m}$
|
||||
13) ثقافة مالية: نقطة التوازن $(9, 135)$
|
||||
14) $\{(2, 1), (-2, -1), (\sqrt{3}, \sqrt{3}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})\}$
|
||||
|
||||
### مهارات التفكير العليا:
|
||||
15) **تبرير:** قول زينب صحيح لأن الدائرتين متحدتا المركز بنصفي قطرين مختلفين.
|
||||
16) **مسألة مفتوحة:** $x^2 + y^2 = 1, x^2 + y^2 = 16$.
|
||||
17) **تحدّ:** إما قاعدة $80\text{ m}$ وارتفاع $30\text{ m}$، أو قاعدة $60\text{ m}$ وارتفاع $40\text{ m}$.
|
||||
18) **مسألة مفتوحة:** $x^2 + y^2 = 34, x^2 - y^2 = 16$.
|
||||
19) **تحدّ:** الأبعاد $13.03\text{ cm} \times 16.57\text{ cm}$.
|
||||
|
||||
---
|
||||
@@ -0,0 +1,15 @@
|
||||
## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الأولى (صفحة 31)
|
||||
|
||||
### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل:
|
||||
1) $x^2 + (6 - 3x)^2 = 4 \implies (5x - 8)(x - 2) = 0 \implies$ **c) (2, 0)**
|
||||
2) $x^2 - 5x + 6 = -x^2 + 2x + 3 \implies (2x - 1)(x - 3) = 0 \implies$ **d) (3, 0)**
|
||||
3) $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x^2 - 1) = 0 \implies$ **c) -2, -1, 1**
|
||||
4) $y = 4x, y = 5 - x^2 \implies \{(1, 4), (-5, -20)\}$
|
||||
5) $y = -x^2 - x + 12, y = x^2 + 7x + 12 \implies \{(0, 12), (-4, 0)\}$
|
||||
6) $3x^4 = 27x^2 \implies \{-3, 0, 3\}$
|
||||
7) $x^3 + x^2 = 4x + 4 \implies \{-2, -1, 2\}$
|
||||
8) $2x^3 + 3x^2 = 8x + 12 \implies \{-2, -1.5, 2\}$
|
||||
9) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0 \implies \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$
|
||||
10) ملعب التنس: الطول $16\text{ m}$، والعرض $14\text{ m}$.
|
||||
11) اختبارات دولية: $x^2 + x - (1 + p) = 0 \implies \Delta = 5 + 4p < 0 \implies p < -\frac{5}{4}$.
|
||||
12) الرقم السري: $X = 9, Y = 3$ أو $X = 3, Y = 9$.
|
||||
@@ -261,27 +261,51 @@
|
||||
"lessons": [
|
||||
{
|
||||
"id": "lesson_01",
|
||||
"title": "الدرس 1: حل معادلات خاصة (Solving Special Equations)",
|
||||
"title": "مقدمة ومشروع الوحدة: أنظمة المعادلات في حياتنا",
|
||||
"outcomes": [
|
||||
"الدرس 1: حل معادلات خاصة (Solving Special Equations)"
|
||||
"مقدمة ومشروع الوحدة: أنظمة المعادلات في حياتنا"
|
||||
],
|
||||
"file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_01\/lesson_01.md"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "lesson_02",
|
||||
"title": "معمل جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانياً",
|
||||
"title": "الدرس 1: حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ (Solving Special Equations)",
|
||||
"outcomes": [
|
||||
"معمل جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانياً"
|
||||
"الدرس 1: حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ (Solving Special Equations)"
|
||||
],
|
||||
"file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_01\/lesson_02.md"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "lesson_03",
|
||||
"title": "الدرس 2: حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية",
|
||||
"title": "معملُ برمجيةِ جيوجبرا: حلُّ أنظمةِ المعادلاتِ بيانياً",
|
||||
"outcomes": [
|
||||
"الدرس 2: حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية"
|
||||
"معملُ برمجيةِ جيوجبرا: حلُّ أنظمةِ المعادلاتِ بيانياً"
|
||||
],
|
||||
"file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_01\/lesson_03.md"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "lesson_04",
|
||||
"title": "الدرس 2: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ",
|
||||
"outcomes": [
|
||||
"الدرس 2: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ"
|
||||
],
|
||||
"file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_01\/lesson_04.md"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "lesson_05",
|
||||
"title": "الدرس 3: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ",
|
||||
"outcomes": [
|
||||
"الدرس 3: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ"
|
||||
],
|
||||
"file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_01\/lesson_05.md"
|
||||
},
|
||||
{
|
||||
"id": "lesson_06",
|
||||
"title": "اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الأولى (صفحة 31)",
|
||||
"outcomes": [
|
||||
"اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الأولى (صفحة 31)"
|
||||
],
|
||||
"file": "grade_10\/math_10\/semester_1\/unit_01\/lesson_06.md"
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
}
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user