239 lines
16 KiB
Markdown
239 lines
16 KiB
Markdown
# الوحدة الثانية: الدائرة (Circle)
|
|
*(الصفحات 32 - 63)*
|
|
|
|
## مقدمة ومشروع الوحدة: استعمالات علمية لخصائص الدائرة
|
|
|
|
### ما أهمية هذه الوحدة؟
|
|
تُعَدُّ الدائرةُ أحدَ أكثرِ الأشكالِ ظهوراً على سطحِ الأرضِ، بلْ في جميعِ الكونِ. فهيَ تظهرُ جليّاً في بؤبؤِ العينِ، وفي الفاكهةِ، وجذوعِ الأشجارِ، وغيرِ ذلكَ منَ المخلوقاتِ. وقدِ استفادَ الإنسانُ منَ الخصائصِ الفريدةِ لهذا الشكلِ المُعقَّدِ في مجالاتٍ عِدَّةٍ، مثلِ: الهندسةِ، والصناعةِ.
|
|
|
|
### تعلَّمْتُ سابقاً:
|
|
- إيجادَ محيطِ الدائرةِ، ومساحتِها.
|
|
- تمييزَ حالاتِ تطابقِ المثلثاتِ، وتشابُهِها.
|
|
- إيجادَ مجموعِ قياسِ زوايا كلٍّ منَ المثلثِ، والشكلِ الرُّباعيِّ.
|
|
- إيجادَ المسافةِ بينَ نقطتينِ في المستوى الإحداثيِّ، وإحداثياتِ نقطةِ المنتصفِ.
|
|
|
|
### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ:
|
|
- حسابَ طولِ القوسِ، ومساحةِ القطاعِ الدائريِّ.
|
|
- العلاقاتِ بينَ الزوايا في الدائرةِ، والإفادةَ منها في إيجادِ زوايا مجهولةٍ.
|
|
- كتابةَ معادلةِ الدائرةِ، وإيجادَ المركزِ ونصفِ القُطْرِ منْ معادلةِ دائرةٍ معلومةٍ.
|
|
|
|
### مشروع الوحدة: استعمالاتٌ علميّةٌ لخصائصِ الدائرةِ (صفحة 33)
|
|
- **فكرة المشروع:** البحثُ عنِ استعمالاتٍ علميّةٍ لخصائصِ الدائرةِ، ووصفِها، ونمذجتِها باستعمالِ برمجيّةِ جيوجبرا (GeoGebra).
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 1: أوتارُ الدائرةِ، وأقطارُها، ومماساتُها (Chords, Diameters and Tangents of a Circle)
|
|
*(الصفحات 34 - 40)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** معرفةُ الوترِ، والقُطْرِ، والمماسِّ، وخصائصِ كلٍّ منها، والعلاقاتِ التي تربطُ بعضَها ببعضٍ، وتوظيفُ ذلكَ في إيجادِ أطوالٍ مجهولةٍ وقياساتِ زوايا مجهولةٍ.
|
|
- **المصطلحات:** الدائرةُ، مركزُ الدائرةِ، الوترُ، القوسُ، القُطْرُ، نصفُ القُطْرِ، المماسُّ، نقطةُ التماسِّ، القاطعُ.
|
|
|
|
### مسألة اليوم (صفحة 34):
|
|
> في حديقةِ منزلِ عبيرَ طاولةٌ دائريّةٌ، وهيَ تريدُ عملَ فتحةٍ عندَ مركزِها لتثبيتِ عمودٍ يحملُ مظلّةً بها. كيفَ يُمكِنُ لعبيرَ تحديدُ مركزِ الطاولةِ؟
|
|
|
|
### المفاهيم الأساسية:
|
|
- **الدائرة (Circle):** المحل الهندسي لنقطة تتحرك في المستوى بحيث تظل على البعد نفسه عن مركز الدائرة.
|
|
- **الوتر (Chord):** قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على الدائرة.
|
|
- **القطر (Diameter):** وتر يمر بمركز الدائرة.
|
|
- **نصف القطر (Radius):** قطعة مستقيمة تصل المركز بنقطة على الدائرة.
|
|
- **المماس (Tangent):** مستقيم يشترك مع الدائرة في نقطة واحدة فقط (نقطة التماس).
|
|
|
|
### نظريات الأوتار والمماسات:
|
|
1. الوتران المتطابقان يبعدان المسافة نفسها عن المركز ($AB = CD \iff ON = OM$).
|
|
2. المنصف العمودي لأي وتر يمر بمركز الدائرة.
|
|
3. نصف القطر العمودي على وتر ينصف ذلك الوتر.
|
|
4. مماس الدائرة عمودي على نصف القطر المرسوم من نقطة التماس ($\overline{OX} \perp \overleftrightarrow{AB}$).
|
|
5. القطعتان المماسيتان المرسومتان من نقطة خارج الدائرة متطابقتان ($PT = PS$).
|
|
|
|
#### مثال 1:
|
|
- مماس الدائرة: $\overleftrightarrow{LM}$.
|
|
- أنصاف الأقطار: $\overline{OV}, \overline{OT}, \overline{OZ}, \overline{OU}$.
|
|
- القطر: $\overline{ZT}$، والوتر: $\overline{SR}, \overline{ZT}$.
|
|
|
|
#### مثال 2:
|
|
$$CD = EF = 8\text{ cm} \implies NC = \frac{1}{2} CD = 4\text{ cm}$$
|
|
|
|
#### مثال 3:
|
|
1) $TP = TQ \implies 2x + 3 = 4x - 6 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5$.
|
|
2) $m\angle POQ = 360^\circ - (90^\circ + 70^\circ + 90^\circ) = 110^\circ$.
|
|
|
|
#### مثال 4 (أبراج مراقبة):
|
|
$$(6400.05)^2 = (TD)^2 + (6400)^2 \implies TD = \sqrt{640.0025} \approx 25.3\text{ km}$$
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1):
|
|
1-4) نصفي قطرين: $\overline{OR}, \overline{OS}$، وترين: $\overline{LM}, \overline{RS}$، مماسين: $\overleftrightarrow{KL}, \overleftrightarrow{KM}$، قاطع: $\overleftrightarrow{KP}$.
|
|
5) مثلث متطابق الضلعين لأن $OA = OB = r$.
|
|
6) متطابقان بحالة (SSS).
|
|
7) $m\angle COD = m\angle AOB = 180^\circ - 2(65^\circ) = 50^\circ$.
|
|
8) $x + 9 = 3x - 7 \implies 2x = 16 \implies x = 8$.
|
|
9-11) $m\angle EMO = 90^\circ$، و $m\angle MEO = 18^\circ$.
|
|
12-14) $m\angle PXO = 90^\circ$، والمثلثان متطابقان بـ (RHS)، و $m\angle XOY = 146^\circ$.
|
|
15) $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\text{ cm}$.
|
|
16) مركز الطاولة: تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين.
|
|
17) $a = 180^\circ - 80^\circ = 100$.
|
|
18) $x = 12^\circ, y = 12^\circ$.
|
|
19) $x = 80^\circ, y = 40^\circ$.
|
|
20) $m\angle BDC = m\angle DBC = 32^\circ$ إذن متطابق الضلعين.
|
|
21) مماس واحد من نقطة عليها، مماسان من نقطة خارجها، صفر من نقطة داخلها.
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
22) **تحدّ:** $ON = \sqrt{18^2 - 7^2} + \sqrt{12^2 - 7^2} = \sqrt{275} + \sqrt{95} \approx 26.33\text{ cm}$.
|
|
23) **برهان:** تطابق المثلثين القائمين بحالة (RHS) يثبت $NE = NF$.
|
|
24) **تبرير:** قول سارة غير صحيح لأن $BN$ هو الوتر، والصحيح $BN = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5.83\text{ cm}$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 2: الأقواسُ والقطاعاتُ الدائريّةُ (Arcs and Sectors)
|
|
*(الصفحات 41 - 46)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** حسابُ طولِ القوسِ، ومساحةِ القطاعِ الدائريِّ، ومحيطه.
|
|
- **القوانين:**
|
|
- طول القوس: $l = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$
|
|
- مساحة القطاع: $A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2$
|
|
- محيط القطاع: $L = l + 2r = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r + 2r$
|
|
|
|
### مسألة اليوم (صفحة 41):
|
|
> بيتزا قطرها $24\text{ cm}$ ($r = 12\text{ cm}$) وزاوية القطع $45^\circ$:
|
|
> $$A = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi (12)^2 = 18\pi \approx 56.55\text{ cm}^2$$
|
|
|
|
#### مثال 1:
|
|
- $l = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi (12) = 4\pi\text{ cm}$
|
|
- $A = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi (12)^2 = 24\pi\text{ cm}^2$
|
|
|
|
#### مثال 3 (محيط القطاع):
|
|
$$L = \left(\frac{140^\circ}{360^\circ} \times 2\pi (15)\right) + 2(15) = \frac{35\pi}{3} + 30 \approx 66.7\text{ units}$$
|
|
|
|
#### مثال 4 (مرش الماء):
|
|
$$A = \frac{135^\circ}{360^\circ} \times \pi (5)^2 = \frac{75\pi}{8} \approx 29.5\text{ m}^2$$
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2):
|
|
1-3) الكسر $\frac{1}{5}$، طول القوس $\approx 10.6\text{ units}$، المساحة $\approx 44.3\text{ units}^2$.
|
|
4) نصف دائرة ($r=10$): $l = 10\pi, A = 50\pi$.
|
|
5) ربع دائرة ($r=10$): $l = 5\pi, A = 25\pi$.
|
|
6) قطاع ($45^\circ, r=10$): $l = 2.5\pi, A = 12.5\pi$.
|
|
7) قطاع ($135^\circ, r=7$): $l = 5.25\pi, A = 18.375\pi$.
|
|
8) نصف دائرة ($d=25$): $A = 78.125\pi \approx 245.44\text{ units}^2, L = 12.5\pi + 25 \approx 64.27\text{ units}$.
|
|
9) المساحة المظللة ($\theta = 290^\circ, r = 40$): $A = \frac{11600\pi}{9} \approx 1288.9\pi\text{ units}^2$.
|
|
11-12) محيط الشكل $= 30\pi + 20$، مساحة الشكل $= 150\pi$.
|
|
13) طول القوس الأكبر $ACB$: $l = \frac{125\pi}{9} \approx 43.63\text{ units}$.
|
|
14) الجزء المظلل $= 36\pi - 72$.
|
|
15) مساحة الجزء المظلل بين القوسين $= 32\pi - 64\text{ cm}^2$.
|
|
16) زاوية المرش: $\theta = \frac{100 \times 360}{225\pi} \approx 50.9^\circ$.
|
|
17) مساحة ماسحة الزجاج: $A = \frac{13}{36}\pi (66^2 - 26^2) \approx 4167.1\text{ cm}^2$.
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
18) **تحدّ:** المحيط $L = \frac{5\pi}{6} + 6 \approx 8.62\text{ cm}$، المساحة $A = \frac{5\pi}{4} \approx 3.93\text{ cm}^2$.
|
|
19) **تحدّ:** زاوية قطعة البيتزا $\theta = \frac{100}{\pi} \approx 32^\circ$.
|
|
20) **تحدّ:** المساحة المظللة $A = 9\sqrt{3} - 1.5\pi \approx 10.88\text{ cm}^2$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 3: الزوايا في الدائرة (Angles in a Circle)
|
|
*(الصفحات 47 - 53)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** معرفة العلاقات بين الزوايا المركزية والمحيطية والمماسية والرباعي الدائري.
|
|
- **النظريات الأساسية:**
|
|
1. الزاوية المركزية تساوي مثلي المحيطية المشتركة معها في القوس ($m\angle AOB = 2 \cdot m\angle ACB$).
|
|
2. الزاوية المحيطية المقابلة للقطر قائمة قياسها $90^\circ$.
|
|
3. الزوايا المحيطية المرسومة على القوس نفسه متطابقة.
|
|
4. مجموع كل زاويتين متقابلتين في الرباعي الدائري $180^\circ$.
|
|
5. الزاوية المماسية تساوي المحيطية المشتركة معها في القوس.
|
|
|
|
#### مثال 1:
|
|
$$a = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \implies b = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$$
|
|
|
|
#### مثال 2:
|
|
$$m\angle PQT = 108^\circ \implies b = 216^\circ \implies a = 360^\circ - 216^\circ = 144^\circ$$
|
|
|
|
#### مثال 3 (الرباعي الدائري):
|
|
$$y = 90^\circ - 43^\circ = 47^\circ \implies x = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$$
|
|
|
|
#### مثال 4 (الزاوية المماسية):
|
|
$$m\angle ATS = 80^\circ, \quad m\angle TSR = 70^\circ$$
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3):
|
|
1-3) $x = 105^\circ, x = 50^\circ, x = 30^\circ$.
|
|
4-6) $m\angle EGF = 37^\circ, m\angle DEG = 18^\circ, m\angle EDF = 37^\circ$.
|
|
7-9) $x = 70^\circ, y = 35^\circ$؛ $x = 31^\circ, y = 118^\circ$؛ $x = 25^\circ, y = 65^\circ$.
|
|
10-12) إثبات أن قياس الزاوية المركزية يساوي مثلي المحيطية.
|
|
13-15) $a = 50^\circ, b = 95^\circ$؛ $d = 110^\circ, e = 70^\circ, f = 110^\circ$؛ $x = 95^\circ, y = 45^\circ$.
|
|
16-18) $m\angle ROT = 142^\circ, m\angle QRT = 71^\circ, m\angle QPT = 109^\circ$.
|
|
19-20) $x = 70^\circ, y = 20^\circ$.
|
|
21) إثبات في متوازي الأضلاع والرباعي الدائري $m\angle AED = m\angle ADE$.
|
|
22-23) $x = 32^\circ, y = 38^\circ, z = 110^\circ$؛ $x = 42^\circ, y = 48^\circ$.
|
|
24-25) $x = 45^\circ$؛ $x = 60^\circ$.
|
|
26) إثبات أن المثلث $ACX$ متطابق الضلعين لأن زوايا قاعدته $32^\circ$.
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
27) **تبرير:** قول فاتن صحيح لأن المحيطية تقابل زاوية مركزية مستقيمة $180^\circ \implies \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.
|
|
28) **تبرير:** برهان نظرية الزاوية المماسية.
|
|
29) **تحدّ:** $5x + 3x + 2x = 180^\circ \implies x = 18^\circ$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 4: معادلةُ الدائرةِ (Equation of a Circle)
|
|
*(الصفحات 54 - 61)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** كتابة معادلة الدائرة بالصورتين القياسية والعامة وإيجاد المركز ونصف القطر.
|
|
- **الصورة القياسية:** $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
|
|
- **الصورة العامة:** $x^2 + y^2 + 2fx + 2gy + c = 0$ حيث المركز $(-f, -g)$ و $r = \sqrt{f^2 + g^2 - c}$.
|
|
|
|
#### مثال 1:
|
|
1) $(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 36$
|
|
2) $x^2 + y^2 = 25$
|
|
3) $(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$
|
|
|
|
#### مثال 2:
|
|
$$r^2 = (4 - (-7))^2 + (13 - 4)^2 = 225 \implies (x + 7)^2 + (y - 13)^2 = 225$$
|
|
|
|
#### مثال 3 (إكمال المربع):
|
|
$$x^2 + y^2 - 8x + 6y - 56 = 0 \implies (x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 81 \implies \text{المركز } (4, -3), r = 9$$
|
|
|
|
#### مثال 4 (طول المماس):
|
|
$$PT = \sqrt{(XP)^2 - r^2} = \sqrt{221 - 25} = \sqrt{196} = 14\text{ units}$$
|
|
|
|
#### مثال 5 (إثبات التماس):
|
|
$$(x - 10)^2 + (2x - 5)^2 = 45 \implies 5(x - 4)^2 = 0 \implies x = 4, y = 11 \implies \text{مماس للدائرة}$$
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 4):
|
|
1-3) $x^2 + y^2 = 49$؛ $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$؛ $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$.
|
|
4-5) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$؛ $x^2 + y^2 = 97$.
|
|
6-9) المركز $(-5, 8), r = 6$؛ المركز $(19, 33), r = 20$؛ المركز $(0, -4), r = 3\sqrt{5}$؛ المركز $(3, -10), r = 2\sqrt{7}$.
|
|
10-13) المركز $(3, 5), r = 2$؛ المركز $(-4, 0), r = 5$؛ المركز $(-5, -9), r = 3\sqrt{3}$؛ المركز $(9, -7), r = 12$.
|
|
14-16) $(x + 11)^2 + (y + 1)^2 = 169$؛ $(x - 3)^2 + y^2 = 48$؛ $(x + 4)^2 + (y - 7)^2 = 41$.
|
|
17) $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
|
|
18) $d = \sqrt{15005} \approx 122.5\text{ km} < 224\text{ km} \implies$ بث الإذاعة يصل.
|
|
19) المركز $(2, -3)$، نصف القطر $r = 5$.
|
|
20) $p = 8$، بعد المركز عن الأصل $= 5\text{ units}$.
|
|
21-23) المركز $C(8, 1)$، نصف القطر $r = 10$، المعادلة $(x - 8)^2 + (y - 1)^2 = 100$.
|
|
24) إثبات أن المستقيم مماس لأن حل النظام وحيد عند $(4, 10)$.
|
|
25) طول المماس $L = \sqrt{148 - 100} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.93\text{ units}$.
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
26) **تبرير:** قول عبد الرحمن صحيح لأن $r^2 = -1 < 0$ ولا تمثل دائرة.
|
|
27) **تحدّ:** معادلة الكبرى $(x - 7)^2 + (y - 3)^2 = 49$، الصغرى $(x - 7)^2 + (y - 3)^2 = 9$، مساحة الممر $= 40\pi \approx 125.66\text{ units}^2$.
|
|
28) **تحدّ:** مساحة الشكل الرباعي $ABCD = 7\sqrt{577} \approx 168.15\text{ units}^2$.
|
|
29) **تحدّ:** الصورة القياسية $(x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 17$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الثانية (صفحة 62 - 63)
|
|
|
|
### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل:
|
|
1) المنصف العمودي يُنصِّف الوتر: $AB = 8\text{ cm} \implies$ **c) 8**
|
|
2) تقاطع الأوتار: **b) 8**
|
|
3) $(r + 8)^2 = r^2 + 16^2 \implies 16r = 192 \implies$ **b) 12**
|
|
4) $l = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 6\pi = \frac{3\pi}{4} \implies$ **d) $\frac{3\pi}{4}$**
|
|
5) زاوية التقاطع: **c) $34^\circ$**
|
|
6) تعويض النقطة: **d) (0, 5)**
|
|
7) المركز $(1, 6)$ و $r^2 = 34 \implies (x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 34$
|
|
8) $x \approx 4\text{ cm}$
|
|
9) الفرق بين القوسين $\approx 3.0\text{ cm}$
|
|
10) نصف دائرة ($r = 11$): $A = 60.5\pi \approx 190.07\text{ units}^2, L = 11\pi + 22 \approx 56.56\text{ units}$
|
|
11) قطاع ($50^\circ, r = 8$): $A = \frac{80\pi}{9} \approx 27.93\text{ units}^2, L = \frac{20\pi}{9} + 16 \approx 22.98\text{ units}$
|
|
12) مسافة القمر الصناعي: $SA = \sqrt{7000^2 - 6360^2} = \sqrt{8550400} \approx 2924.1\text{ km}$
|
|
13) المركز $(5, 0)$، نصف القطر $r = 2\sqrt{5} \approx 4.47$
|
|
14) المركز $(-9, 4)$، نصف القطر $r = 11$
|
|
15) اختبارات دولية: $\frac{A_{\text{small}}}{9} = \frac{2^2}{3^2} \implies$ **b) 4**
|
|
16) اختبارات دولية (مضمار الجري): الفرق $\Delta L = 2\pi (2) = 4\pi \approx 12.57\text{ m}$.
|