saqel/backend/scripts/unit1_math_full.md

الوحدة الأولى: المعادلات (Equations)

الدرس 1: حل معادلات خاصة (Solving Special Equations)

فكرة الدرس

حل معادلات خاصة أس المتغير فيها عدد صحيح موجب أكبر من 2.

المصطلحات

الصورة التربيعية (Quadratic Form).

مسألة اليوم (صفحة 8)

كيس للهدايا على شكل متوازي مستطيلات، حجمه $1152\text{ cm}^3$، وأبعاده بدلالة المتغير w: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، العرض $w\text{ cm}$، الارتفاع (2w + 4)\text{ cm}. أجد أبعاده.

البند 1: حل المعادلات بإخراج العامل المشترك الأكبر

أتعلم: أكتب جميع حدود المعادلة في الطرف الأيسر من المعادلة قبل إخراج العامل المشترك الأكبر. أتعلم: أحتاج في بعض المعادلات إلى استعمال طرائق حل المعادلات التربيعية التي تعلمتها سابقاً، بعد إخراج العامل المشترك الأكبر.

مثال 1: أحل كلاً من المعادلات الآتية:

1) x^3 + 4x^2 = 5x

• المعادلة المعطاة: x^3 + 4x^2 = 5x
• بطرح 5x من طرفي المعادلة: x^3 + 4x^2 - 5x = 0
• بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر x: x(x^2 + 4x - 5) = 0
• بالتحليل إلى العوامل (ثلاثي الحدود التربيعي): x(x + 5)(x - 1) = 0
• باستخدام خاصية الضرب الصفري: x = 0 \quad \text{أو} \quad x + 5 = 0 \quad \text{أو} \quad x - 1 = 0
• إذن، جذور المعادلة هي: \{-5, 0, 1\}.

2) 2x^3 = 18x

• المعادلة المعطاة: 2x^3 = 18x
• بطرح 18x من طرفي المعادلة: 2x^3 - 18x = 0
• بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر 2x: 2x(x^2 - 9) = 0
• بتحليل الفرق بين مربعين: 2x(x - 3)(x + 3) = 0
• إذن، جذور المعادلة هي: \{-3, 0, 3\}.

البند 2: حل المعادلات بالتجميع (Factoring by Grouping)

مثال 2:

1) x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0

• بتجميع الحدود ذات العوامل المشتركة: (x^3 - 2x^2) + (9x - 18) = 0
• بتحليل كل تجميع: x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0
• بما أن مميز x^2 + 9 = 0 سالب (\Delta = -36 < 0)، فإن الجذر الحقيقي الوحيد هو: x = 2.

2) 4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0

(4x^3 + 8x^2) - (5x + 10) = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0

• الجذور: \left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}.

البند 3: تحليل مجموع مكعبين أو الفرق بينهما

• a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
• a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

مثال 3:

1. 8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
2. x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5
3. 128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(64x^3 - 27) = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \{0, \frac{3}{4}\}

البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية (Quadratic Form)

مثال 4: x^6 - 3x^3 - 40 = 0

• بفرض u = x^3: u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0 x^3 = 8 \implies x = 2, \quad x^3 = -5 \implies x = \sqrt[3]{-5}

مهارات التفكير العليا

1. أكتشف الخطأ: حل نداء 2x^4 - 18x^2 = 0 أهمل الجذر x = 0. الحل الصحيح \{-3, 0, 3\}.
2. تحدٍّ: (x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies u^2 - 2u - 3 = 0 \implies u = 3, u = -1 \implies x \in \{-2, 0, 2\}.
3. تبرير: 5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies x(5x^2 + wx + 80) = 0 \implies \Delta = w^2 - 1600 = 0 \implies w = \pm 40.

معمل جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانياً

النشاط

حل نظام المعادلات التربيعية بيانياً باستعمال برمجية جيوجبرا:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases}

نقاط التقاطع الأربع:

A(-2, -3), \quad B(2, -3), \quad C(-3, 2), \quad D(3, 2)

الدرس 2: حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية

فكرة الدرس

حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية.

مثال 1:

\begin{cases} x - y = 1 \implies y = x - 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, x = -1

• x = 2 \implies y = 1 \implies (2, 1)
• x = -1 \implies y = -2 \implies (-1, -2) الحلول: \{(2, 1), (-1, -2)\}.

مثال 2 (سجادة مستطيلة):

سجادة مستطيلة مجموع بعديها 7\text{ m} وقطرها 5\text{ m}:

x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies (x-4)(x-3)=0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}