96 lines
5.1 KiB
Markdown
96 lines
5.1 KiB
Markdown
# الوحدة الأولى: المعادلات (Equations)
|
|
|
|
## الدرس 1: حل معادلات خاصة (Solving Special Equations)
|
|
|
|
### فكرة الدرس
|
|
حل معادلات خاصة أس المتغير فيها عدد صحيح موجب أكبر من 2.
|
|
|
|
### المصطلحات
|
|
الصورة التربيعية (Quadratic Form).
|
|
|
|
### مسألة اليوم (صفحة 8)
|
|
> كيس للهدايا على شكل متوازي مستطيلات، حجمه $1152\text{ cm}^3$، وأبعاده بدلالة المتغير $w$: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، العرض $w\text{ cm}$، الارتفاع $(2w + 4)\text{ cm}$. أجد أبعاده.
|
|
|
|
### البند 1: حل المعادلات بإخراج العامل المشترك الأكبر
|
|
> **أتعلم:** أكتب جميع حدود المعادلة في الطرف الأيسر من المعادلة قبل إخراج العامل المشترك الأكبر.
|
|
> **أتعلم:** أحتاج في بعض المعادلات إلى استعمال طرائق حل المعادلات التربيعية التي تعلمتها سابقاً، بعد إخراج العامل المشترك الأكبر.
|
|
|
|
#### مثال 1: أحل كلاً من المعادلات الآتية:
|
|
##### 1) $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
|
- المعادلة المعطاة: $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
|
- بطرح $5x$ من طرفي المعادلة: $x^3 + 4x^2 - 5x = 0$
|
|
- بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر $x$:
|
|
$$x(x^2 + 4x - 5) = 0$$
|
|
- بالتحليل إلى العوامل (ثلاثي الحدود التربيعي):
|
|
$$x(x + 5)(x - 1) = 0$$
|
|
- باستخدام خاصية الضرب الصفري:
|
|
$$x = 0 \quad \text{أو} \quad x + 5 = 0 \quad \text{أو} \quad x - 1 = 0$$
|
|
- إذن، جذور المعادلة هي: $\{-5, 0, 1\}$.
|
|
|
|
##### 2) $2x^3 = 18x$
|
|
- المعادلة المعطاة: $2x^3 = 18x$
|
|
- بطرح $18x$ من طرفي المعادلة: $2x^3 - 18x = 0$
|
|
- بالتحليل بإخراج العامل المشترك الأكبر $2x$:
|
|
$$2x(x^2 - 9) = 0$$
|
|
- بتحليل الفرق بين مربعين:
|
|
$$2x(x - 3)(x + 3) = 0$$
|
|
- إذن، جذور المعادلة هي: $\{-3, 0, 3\}$.
|
|
|
|
### البند 2: حل المعادلات بالتجميع (Factoring by Grouping)
|
|
#### مثال 2:
|
|
##### 1) $x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0$
|
|
- بتجميع الحدود ذات العوامل المشتركة:
|
|
$$(x^3 - 2x^2) + (9x - 18) = 0$$
|
|
- بتحليل كل تجميع:
|
|
$$x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0$$
|
|
- بما أن مميز $x^2 + 9 = 0$ سالب ($\Delta = -36 < 0$)، فإن الجذر الحقيقي الوحيد هو: $x = 2$.
|
|
|
|
##### 2) $4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0$
|
|
$$(4x^3 + 8x^2) - (5x + 10) = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0$$
|
|
- الجذور: $\left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$.
|
|
|
|
### البند 3: تحليل مجموع مكعبين أو الفرق بينهما
|
|
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
|
|
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
|
|
|
|
#### مثال 3:
|
|
1) $8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$
|
|
2) $x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5$
|
|
3) $128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(64x^3 - 27) = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \{0, \frac{3}{4}\}$
|
|
|
|
### البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية (Quadratic Form)
|
|
#### مثال 4: $x^6 - 3x^3 - 40 = 0$
|
|
- بفرض $u = x^3$:
|
|
$$u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0$$
|
|
$$x^3 = 8 \implies x = 2, \quad x^3 = -5 \implies x = \sqrt[3]{-5}$$
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا
|
|
1) **أكتشف الخطأ:** حل نداء $2x^4 - 18x^2 = 0$ أهمل الجذر $x = 0$. الحل الصحيح $\{-3, 0, 3\}$.
|
|
2) **تحدٍّ:** $(x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies u^2 - 2u - 3 = 0 \implies u = 3, u = -1 \implies x \in \{-2, 0, 2\}$.
|
|
3) **تبرير:** $5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies x(5x^2 + wx + 80) = 0 \implies \Delta = w^2 - 1600 = 0 \implies w = \pm 40$.
|
|
|
|
## معمل جيوجبرا: حل أنظمة المعادلات بيانياً
|
|
|
|
### النشاط
|
|
حل نظام المعادلات التربيعية بيانياً باستعمال برمجية جيوجبرا:
|
|
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases}$$
|
|
نقاط التقاطع الأربع:
|
|
$$A(-2, -3), \quad B(2, -3), \quad C(-3, 2), \quad D(3, 2)$$
|
|
|
|
## الدرس 2: حل نظام مكون من معادلة خطية ومعادلة تربيعية
|
|
|
|
### فكرة الدرس
|
|
حل نظام مكون من معادلة خطية وأخرى تربيعية.
|
|
|
|
### مثال 1:
|
|
$$\begin{cases} x - y = 1 \implies y = x - 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$
|
|
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$$
|
|
$$(x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2, x = -1$$
|
|
- $x = 2 \implies y = 1 \implies (2, 1)$
|
|
- $x = -1 \implies y = -2 \implies (-1, -2)$
|
|
الحلول: $\{(2, 1), (-1, -2)\}$.
|
|
|
|
### مثال 2 (سجادة مستطيلة):
|
|
سجادة مستطيلة مجموع بعديها $7\text{ m}$ وقطرها $5\text{ m}$:
|
|
$$x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies (x-4)(x-3)=0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}$$
|