256 lines
13 KiB
Markdown
256 lines
13 KiB
Markdown
# الوحدة الأولى: المعادلات (Equations)
|
|
*(الصفحات 6 - 31)*
|
|
|
|
## مقدمة ومشروع الوحدة: أنظمة المعادلات في حياتنا
|
|
|
|
### ما أهمية هذه الوحدة؟
|
|
تُستخدَم أنظمةُ المعادلاتِ في كثيرٍ من مجالاتِ الحياةِ. فخبراءُ الأرصادِ الجويّةِ -مثلاً- يُعبِّرون عنِ العلاقةِ بينَ درجةِ الحرارةِ، وسرعةِ الرّياحِ، والضغطِ الجويِّ، ومعدلِ الهطلِ، باستخدامِ نظامِ معادلاتٍ غيرِ خطيٍّ؛ ذلكَ أنَّ أيَّ تغيُّرٍ في أحدِ هذهِ العواملِ يؤدّي إلى تغيُّرٍ في العواملِ الأخرى.
|
|
|
|
### تعلَّمْتُ سابقاً:
|
|
- حلَّ معادلاتٍ تربيعيّةٍ باستعمالِ التحليلِ.
|
|
- حلَّ معادلاتٍ تربيعيّةٍ باستعمالِ القانونِ العامِّ.
|
|
- حلَّ أنظمةِ معادلاتٍ تتضمَّنُ معادلتيْنِ خطيّتيْنِ بمتغيِّريْنِ.
|
|
|
|
### سأتعلَّمُ في هذهِ الوحدةِ:
|
|
- حلَّ معادلاتٍ خاصّةٍ أُسُّ المتغيّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ من $2$.
|
|
- حلَّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ، وأُخرى تربيعيّةٍ.
|
|
- حلَّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ.
|
|
|
|
### مشروع الوحدة: أنظمةُ المعادلاتِ في حياتِنا (صفحة 7)
|
|
- **فكرة المشروع:** البحثُ عن أنظمةِ معادلاتٍ في نماذجَ حياتيّةٍ.
|
|
- **المواد والأدوات:** شبكةُ الإنترنت، برمجيّةُ جيوجبرا (GeoGebra).
|
|
- **الصيغة المستخدمة في جيوجبرا:**
|
|
$$\text{FitPoly}(\{C, D, E, F, G, H, I, J, K, L\}, n)$$
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 1: حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ (Solving Special Equations)
|
|
*(الصفحات 8 - 15)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** حلُّ معادلاتٍ خاصّةٍ أُسُّ المتغيّرِ فيها عددٌ صحيحٌ موجبٌ أكبرُ من $2$.
|
|
- **المصطلحات:** الصورةُ التربيعيّةُ (Quadratic Form).
|
|
|
|
### مسألة اليوم (صفحة 8):
|
|
> كيسٌ للهدايا على شكلِ متوازي مستطيلاتٍ، حجمُهُ $1152\text{ cm}^3$، وأبعادُهُ بدلالةِ المتغيّرِ $w$ مُوضَّحةٌ في الشكلِ المجاورِ: الطول $(18 - w)\text{ cm}$، والعرض $w\text{ cm}$، والارتفاع $(2w + 4)\text{ cm}$. أَجِدُ أبعادَهُ.
|
|
|
|
### البند 1: حلُّ المعادلاتِ بإخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ
|
|
> **أتعلم (1):** أحتاجُ في بعضِ المعادلاتِ إلى استعمالِ طرائقِ حلِّ المعادلاتِ التربيعيّةِ التي تعلَّمتُها سابقاً، بعدَ إخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ.
|
|
> **أتعلم (2):** أكتبُ جميعَ حدودِ المعادلةِ في الطرفِ الأيسرِ منَ المعادلةِ قبلَ إخراجِ العاملِ المشتركِ الأكبرِ.
|
|
|
|
#### مثال 1:
|
|
1) $x^3 + 4x^2 = 5x$
|
|
$$x^3 + 4x^2 - 5x = 0 \implies x(x^2 + 4x - 5) = 0 \implies x(x + 5)(x - 1) = 0$$
|
|
الجذور: $\{-5, 0, 1\}$.
|
|
|
|
2) $2x^3 = 18x$
|
|
$$2x^3 - 18x = 0 \implies 2x(x^2 - 9) = 0 \implies 2x(x - 3)(x + 3) = 0$$
|
|
الجذور: $\{-3, 0, 3\}$.
|
|
|
|
#### أتحقق من فهمي (صفحة 9):
|
|
a) $x^3 + 12x = 7x^2 \implies x^3 - 7x^2 + 12x = 0 \implies x(x - 3)(x - 4) = 0 \implies x \in \{0, 3, 4\}$.
|
|
b) $x^3 = 25x \implies x(x - 5)(x + 5) = 0 \implies x \in \{-5, 0, 5\}$.
|
|
|
|
### البند 2: حلُّ المعادلاتِ بالتجميعِ (Solving Equations by Grouping)
|
|
#### مثال 2:
|
|
1) $x^3 - 2x^2 + 9x - 18 = 0 \implies x^2(x - 2) + 9(x - 2) = 0 \implies (x - 2)(x^2 + 9) = 0 \implies x = 2$.
|
|
2) $4x^3 + 8x^2 - 5x - 10 = 0 \implies 4x^2(x + 2) - 5(x + 2) = 0 \implies (x + 2)(4x^2 - 5) = 0 \implies x \in \left\{-2, -\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right\}$.
|
|
|
|
#### أتحقق من فهمي (صفحة 10):
|
|
a) $9x^3 + 18x^2 + 2x + 4 = 0 \implies (x + 2)(9x^2 + 2) = 0 \implies x = -2$.
|
|
b) $2x^3 + x^2 - 14x - 7 = 0 \implies (2x + 1)(x^2 - 7) = 0 \implies x \in \left\{-\sqrt{7}, -\frac{1}{2}, \sqrt{7}\right\}$.
|
|
|
|
### البند 3: مجموع مكعبين والفرق بينهما
|
|
- $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
|
|
- $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
|
|
|
|
#### مثال 3:
|
|
1) $8x^3 + 1 = 0 \implies (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.
|
|
2) $x^3 - 125 = 0 \implies (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = 0 \implies x = 5$.
|
|
3) $128x^5 - 54x^2 = 0 \implies 2x^2(4x - 3)(16x^2 + 12x + 9) = 0 \implies x \in \left\{0, \frac{3}{4}\right\}$.
|
|
|
|
#### أتحقق من فهمي (صفحة 12):
|
|
a) $27x^3 - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.
|
|
b) $x^3 + 1000 = 0 \implies x = -10$.
|
|
c) $16x^4 - 250x = 0 \implies x \in \{0, 2.5\}$.
|
|
|
|
### البند 4: حل معادلات على الصورة التربيعية
|
|
#### مثال 4: $x^6 - 3x^3 - 40 = 0$
|
|
بفرض $u = x^3$:
|
|
$$u^2 - 3u - 40 = 0 \implies (u - 8)(u + 5) = 0 \implies x = 2, \quad x = \sqrt[3]{-5}$$
|
|
|
|
#### أتحقق من فهمي (صفحة 13):
|
|
a) $x^4 - 625 = 0 \implies x = \pm 5$.
|
|
b) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0 \implies x \in \{-\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}\}$.
|
|
|
|
### البند 5: تطبيقات حياتية
|
|
#### مثال 5: صناعة صناديق
|
|
$$h^3 - 120h^2 + 2700h - 324000 = 0 \implies (h - 120)(h^2 + 2700) = 0 \implies h = 120\text{ cm}$$
|
|
الأبعاد: الارتفاع $120\text{ cm}$، الطول $90\text{ cm}$، العرض $30\text{ cm}$.
|
|
|
|
#### أتحقق من فهمي (صفحة 14):
|
|
$$(x + 6)(x - 1)(x - 2) = 60 \implies x^3 + 3x^2 - 16x - 48 = 0 \implies (x + 3)(x - 4)(x + 4) = 0 \implies x = 4$$
|
|
الأبعاد: الطول $10\text{ cm}$، العرض $3\text{ cm}$، الارتفاع $2\text{ cm}$.
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 1):
|
|
1) $3x^4 - 12x^3 = 0 \implies x \in \{0, 4\}$
|
|
2) $35x^3 - 28x^2 - 7x = 0 \implies x \in \{-\frac{1}{5}, 0, 1\}$
|
|
3) $6x^6 - 3x^4 - 9x^2 = 0 \implies x \in \{-\frac{\sqrt{6}}{2}, 0, \frac{\sqrt{6}}{2}\}$
|
|
4) $2x^3 + 4x^2 + 2x = 0 \implies x \in \{-1, 0\}$
|
|
5) $3x^3 = 12x \implies x \in \{-2, 0, 2\}$
|
|
6) $x^3 + 4x^2 + 4x = 0 \implies x \in \{-2, 0\}$
|
|
7) $2x^3 - 3x^2 - 4x + 6 = 0 \implies x \in \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 1.5\}$
|
|
8) $10x^3 - 15x^2 + 2x - 3 = 0 \implies x = 1.5$
|
|
9) $x^3 - 3x^2 + x - 3 = 0 \implies x = 3$
|
|
10) $125x^3 - 1 = 0 \implies x = 0.2$
|
|
11) $3x^3 + 3000 = 0 \implies x = -10$
|
|
12) $x^4 + x^3 - 12x - 12 = 0 \implies x \in \{-1, \sqrt[3]{12}\}$
|
|
13) $5x^3 - 320 = 0 \implies x = 4$
|
|
14) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \implies x \in \{-2, -1, 1, 2\}$
|
|
15) $2x^4 - 9x^2 + 4 = 0 \implies x \in \{-2, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 2\}$
|
|
16) $4x^4 + 20x^2 = -25 \implies \varnothing$
|
|
17) $16x^4 - 81 = 0 \implies x \in \{-1.5, 1.5\}$
|
|
18) $5w^6 - 25w^3 + 30 = 0 \implies w \in \{\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}\}$
|
|
19) $R(t) = 23 \implies t = 8\text{ years}$
|
|
20) الأسطوانة: $h = 8\text{ cm}, r = 5\text{ cm}$
|
|
21) كيس الهدايا: إما $6\text{ cm} \times 12\text{ cm} \times 16\text{ cm}$ أو $16\text{ cm} \times 2\text{ cm} \times 36\text{ cm}$.
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
22) **أكتشف الخطأ:** أهملت نداء الجذر $x=0$. الحل الصحيح $\{-3, 0, 3\}$.
|
|
23) **تحدّ:** $x^6 + 4x^3 = 2 \implies x = \sqrt[3]{-2 \pm \sqrt{6}}$.
|
|
24) **تحدّ:** $(x^2 - 1)^2 - 2(x^2 - 1) = 3 \implies x \in \{-2, 0, 2\}$.
|
|
25) **تبرير:** $5x^3 + wx^2 + 80x = 0 \implies w = \pm 40$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## معملُ برمجيةِ جيوجبرا: حلُّ أنظمةِ المعادلاتِ بيانياً
|
|
*(الصفحات 16 - 17)*
|
|
|
|
### النشاط:
|
|
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases}$$
|
|
نقاط التقاطع الأربع:
|
|
$$(-3, 2), \quad (3, 2), \quad (-2, -3), \quad (2, -3)$$
|
|
|
|
### أتدرب (صفحة 17):
|
|
1) $\Delta = -144 < 0 \implies \varnothing$
|
|
2) $\{(2, 4), (-2, 4)\}$
|
|
3) $\{(8.625, 7.375)\}$
|
|
4) $\Delta = -295 < 0 \implies \varnothing$
|
|
5) $\left\{\left(\frac{3}{\sqrt{37}}, \frac{18}{\sqrt{37}}\right), \left(-\frac{3}{\sqrt{37}}, -\frac{18}{\sqrt{37}}\right)\right\}$
|
|
6) $\Delta = -59 < 0 \implies \varnothing$
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 2: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ
|
|
*(الصفحات 18 - 24)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلةٍ خطيّةٍ ومعادلةٍ تربيعيّةٍ.
|
|
|
|
### مثال 1:
|
|
$$\begin{cases} x - y = 1 \implies y = x - 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$$
|
|
$$x^2 + (x - 1)^2 = 5 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0$$
|
|
الحلول: $\{(2, 1), (-1, -2)\}$.
|
|
|
|
### أتحقق من فهمي (صفحة 19):
|
|
$$\begin{cases} 2x + y = 12 \implies y = 12 - 2x \\ y = x^2 + 5x - 6 \end{cases} \implies x^2 + 7x - 18 = 0 \implies \{(-9, 30), (2, 8)\}$$
|
|
|
|
### مثال 2 (حل وحيد):
|
|
$$\begin{cases} y - x^2 = 7 - 5x \\ 4y - 8x = -21 \implies y = 2x - 5.25 \end{cases} \implies x = 3.5, y = 1.75 \implies (3.5, 1.75)$$
|
|
|
|
### مثال 3 (لا يوجد حل حقيقي):
|
|
$$\begin{cases} y + x = 5 \\ x^2 + y^2 = 9 \end{cases} \implies 2y^2 - 10y + 16 = 0 \implies \Delta = -28 < 0 \implies \varnothing$$
|
|
|
|
### مثال 4 (سجادة مستطيلة):
|
|
$$x + y = 7, \quad x^2 + y^2 = 25 \implies x^2 - 7x + 12 = 0 \implies \text{الطول } 4\text{ m}, \text{ والعرض } 3\text{ m}$$
|
|
|
|
### أتحقق من فهمي (صفحة 23 - مزرعة):
|
|
$$x + y = 70, \quad x^2 + y^2 = 2500 \implies (x - 40)(x - 30) = 0 \implies \text{البعدان: } 40\text{ m}, 30\text{ m}$$
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 2):
|
|
1) $\{(-2, -6)\}$
|
|
2) $\{(0, -3), (-4, -11)\}$
|
|
3) $\varnothing$
|
|
4) $\{(0.5, 1.25), (-8, 31)\}$
|
|
5) $\{(-2, 3)\}$
|
|
6) $\varnothing$
|
|
7) $\{(3, 5), (-2.2, -5.4)\}$
|
|
8) $\{(-1, 0)\}$
|
|
9) $\varnothing$
|
|
10) $\{(3, 1), (-1, -3)\}$
|
|
11) $\{(1, 5), (1, -3)\}$
|
|
12) $\{(-2, 3), (14.5, -8)\}$
|
|
13) بركة ماء: $5\text{ m}, 3\text{ m}$
|
|
14) عددان: $7, 5$
|
|
15) دائرتان: قطراهما $8\text{ cm}, 4\text{ cm}$
|
|
16) أعمار: شيماء $15$ سنة، ريان $11$ سنة
|
|
17) تكلفة الإطار: $6.75$ دنانير
|
|
18) زراعة: طماطم $25\text{ m}^2$، بطاطا $16\text{ m}^2$
|
|
19) مقذوف: $(25, 3.75)$
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
20) **تبرير:** $\Delta = -7 < 0$ لا يصل ماء النافورة.
|
|
21) **تحدّ:** $\Delta = 0 \implies p = -5$.
|
|
22) **تحدّ:** مساحة شبه المنحرف $= 15.82\text{ units}^2$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## الدرس 3: حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ
|
|
*(الصفحات 25 - 30)*
|
|
|
|
- **فكرة الدرس:** حلُّ نظامٍ مُكوَّنٍ من معادلتيْنِ تربيعيّتيْنِ بمتغيِّريْنِ.
|
|
|
|
### مثال 1:
|
|
$$\begin{cases} y = x^2 + 4x - 3 \\ y = -x^2 + 2x - 3 \end{cases} \implies 2x^2 + 2x = 0 \implies \{(0, -3), (-1, -6)\}$$
|
|
|
|
### مثال 2 (سباقات):
|
|
$$y = x^2, \quad y = x^2 + 3x - 2 \implies x = \frac{2}{3}, y = \frac{4}{9} \implies (\frac{2}{3}, \frac{4}{9})$$
|
|
|
|
### مثال 3 (لا يوجد حل):
|
|
$$\begin{cases} y = x^2 + x + 2 \\ y = -x^2 - x + 1 \end{cases} \implies \Delta = -4 < 0 \implies \varnothing$$
|
|
|
|
### مثال 4 (الحذف - 4 حلول):
|
|
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x^2 - y = 7 \end{cases} \implies y^2 + y - 6 = 0 \implies \{(-2, -3), (2, -3), (-3, 2), (3, 2)\}$$
|
|
|
|
### أتحقق من فهمي (صفحة 29):
|
|
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ 3y - x^2 = -12 \end{cases} \implies \{(0, -4), (\sqrt{15}, 1), (-\sqrt{15}, 1)\}$$
|
|
|
|
### أتدرب وأحل المسائل (الدرس 3):
|
|
1) $\{(0, -5), (-1, -4)\}$
|
|
2) $\varnothing$
|
|
3) $\{(2, 5), (-2, 5)\}$
|
|
4) $\varnothing$
|
|
5) $\{(0, 0), (5, 0)\}$
|
|
6) $\{(-6, 36)\}$
|
|
7) $\{(0, 8)\}$
|
|
8) $(\pm 2.8, 2.85)$ و $(\pm 1.07, -3.85)$
|
|
9) $\{(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)\}$
|
|
10) تقاطع دائرتين: $(1.98, 2.25), (-1.98, 2.25)$
|
|
11) عددان: $8, 5$
|
|
12) فيزياء: $t = 4\text{ s}, y = 26\text{ m}$
|
|
13) ثقافة مالية: نقطة التوازن $(9, 135)$
|
|
14) $\{(2, 1), (-2, -1), (\sqrt{3}, \sqrt{3}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{3})\}$
|
|
|
|
### مهارات التفكير العليا:
|
|
15) **تبرير:** قول زينب صحيح لأن الدائرتين متحدتا المركز بنصفي قطرين مختلفين.
|
|
16) **مسألة مفتوحة:** $x^2 + y^2 = 1, x^2 + y^2 = 16$.
|
|
17) **تحدّ:** إما قاعدة $80\text{ m}$ وارتفاع $30\text{ m}$، أو قاعدة $60\text{ m}$ وارتفاع $40\text{ m}$.
|
|
18) **مسألة مفتوحة:** $x^2 + y^2 = 34, x^2 - y^2 = 16$.
|
|
19) **تحدّ:** الأبعاد $13.03\text{ cm} \times 16.57\text{ cm}$.
|
|
|
|
---
|
|
|
|
## اختبارُ نهايةِ الوحدةِ الأولى (صفحة 31)
|
|
|
|
### الإجابات الصحيحة وخطوات الحل:
|
|
1) $x^2 + (6 - 3x)^2 = 4 \implies (5x - 8)(x - 2) = 0 \implies$ **c) (2, 0)**
|
|
2) $x^2 - 5x + 6 = -x^2 + 2x + 3 \implies (2x - 1)(x - 3) = 0 \implies$ **d) (3, 0)**
|
|
3) $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x^2 - 1) = 0 \implies$ **c) -2, -1, 1**
|
|
4) $y = 4x, y = 5 - x^2 \implies \{(1, 4), (-5, -20)\}$
|
|
5) $y = -x^2 - x + 12, y = x^2 + 7x + 12 \implies \{(0, 12), (-4, 0)\}$
|
|
6) $3x^4 = 27x^2 \implies \{-3, 0, 3\}$
|
|
7) $x^3 + x^2 = 4x + 4 \implies \{-2, -1, 2\}$
|
|
8) $2x^3 + 3x^2 = 8x + 12 \implies \{-2, -1.5, 2\}$
|
|
9) $x^4 + 3x^2 - 10 = 0 \implies \{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$
|
|
10) ملعب التنس: الطول $16\text{ m}$، والعرض $14\text{ m}$.
|
|
11) اختبارات دولية: $x^2 + x - (1 + p) = 0 \implies \Delta = 5 + 4p < 0 \implies p < -\frac{5}{4}$.
|
|
12) الرقم السري: $X = 9, Y = 3$ أو $X = 3, Y = 9$.
|